Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
49
где q — заряд на обкладках конденсатора, a L, R и С, как обычно, — индуктивность, сопротивление и емкость.
Обозначая — = 2А; - = Wq (или соответственно Л. п1- 1
т
:2 А,
LC
\...........— L
:u)o j, получим уравнения (1.14) и (1.15) в обычном виде
X 2hx -J- "»о-* = 0. Решение этого уравнения, как известно, имеет вид'):
X = AexS + где X1 и X3 — корни квадратного уравнения:
X3 2АХ —j— io§ = 0.
Как известно, при А3^>шо эти корни действительные, а при A?<^wo комплексные. В соответствии с этим в зависимости от знака A3 — мы получим два типа решений и два различных процесса: при A3 ш§ затухающий осцилляторный процесс, при A2 шо — затухающий апериодический процесс.
I. Затухающий осцилляторный процесс. При достаточно малом трении, когда А2<^шо, корни характеристического уравнения (1.18)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
«>о
имеют значения: где
X1
(1.19)
1,з —— А ±У «),
о> = + 1Ло5-А» , J = V=T,
и для общего решения уравнения (1.16) получаем:
X = (A cos wt -J- В sin со/), (1.20)
где AwB определяются начальными условиями. Именно, если для X = JC0, лт = .?0, то
л- = e ht jX0 cos ait -j- + hx° sin а)/}, JC = e ht IJc0 cos mt - + hU sin u>t}.
Решение (1.20) может быть также записано в виде: JC = Ке'ы cos (mt -J- а),
K= + V А*+ В* = -J-
X0 + hx0,
(1.21)
где
tga :
COS а:
в
Xo
К'
VX0
sin а:
Xg + hx о \
«к )¦
(1.22)
') За исключением частного случая /is=<o§. SO ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. I
К аналогичному виду можно привести и выражение для скорости:
х=~ AoyTft' sin (at 4- а + О), (1.23) где 0 определено соотношениями:
=ш0 cos 8,
(1.24)
Формулы (1.22) и (1.23) определяют один из типов затухающего колебательного движения, именно осцилляторный затухающий процесс, в котором затухание амплитуды происходит по показательному закону.
Полученные функции x(t), равно как и функция x(t), не являются периодическими функциями. Действительно, периодическими функциями называются, как известно, такие функции f(t), для которых можно указать некоторую величину т, так что
при любом значении аргумента t. Наименьшая величина т называется периодом функции f(t). Функции (1.22) и (1.23) не подходят под это определение, ибо для них приведенное условие не удовлетворяется для любых значений аргумента t. Поэтому периода в строгом смысле этого слова в этом случае не существует. Однако промежуток времени между двумя последовательными прохождениями системы через положение равновесия (в одном и том же направлении) или между двумя последовательными максимальными отклонениями
(в одну и ту же сторону) постоянен и равен T= . Этот промежуток времени мы будем называть «условным периодом» затухающего осцилляторного процесса. Зависимость координаты от времени имеет вид, изображенный на рис. 19 •).
Скорость затухания рассматриваемого осцилляторного процесса может быть охарактеризована величиной А, так называемым показателем затухания. Численное значение h зависит от выбора единиц времени. Однако можно дать иную характеристику затухания такого процесса, не зависящую от выбора единиц измерения.
Возьмем отношение двух последовательных экстремумов, направленных в одну и ту же сторону, например двух последовательных максимумов:
ahT-
-.Є"1 =Є
!) Заметим, что все экстремумы (как минимумы, так и максимумы) не находятся на серединах временных расстояний между соответствующими нулями,
і сдвинуты влево на величину —, где ft определяется формулами (1.24). § 4] ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
51
Логарифм этой величины, или, иначе говоря, разность логарифмов двух последовательных максимумов, носит название логарифмического декремента затухания d, причем
d = hT = ^~. (1.25)
Чтобы еще иначе пояснить физический смысл логарифмического декремента d, заметим, что обратная величина дает число условных периодов, после которого амплитуда уменьшается в е раз (е — основание натуральных логарифмов)1).
Легко видеть, что полученный закон затухания колебаний тесно связан с принятой нами идеализацией закона трения. Только предположив, что сила трения пропорциональна скорости, мы получили
вакон убывания максимумов по геометрической прогрессии с показателем прогрессии e~d. Ясно, с другой стороны, что самое понятие логарифмического декремента затухания имеет определенный смысл только при этом законе затухания и теряет свой смысл, если закон затухания таков, что отношение двух последовательных максимумов не остается постоянным. Следовательно, без специальных оговорок понятие логарифмического декремента затухания применимо только к системам линейным. Определение логарифмического декремента эатухания может быть сделано по кривой, изображенной на рис. 19,
1J Например, если d = 0,02, то это значит, что через 50 условных периодов амплитуда уменьшается в е раз, т. е. примерно до -Jr первоначальной вели-
O
чины. 52
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. I
или по полученной из этой кривой зависимости экстремумов от времени, нанесенной в полулогарифмическом масштабе (вместо отклонений по оси ординат откладываются логарифмы наибольших отклонений). В этом последнем случае зависимость принимает вид прямой линии, угол наклона которой дает непосредственно показатель затухания •h, откуда умножением на условный период T получается логарифмический декремент затухания d (однако практически вместо этого прямого метода чаще применяется более удобный метод определения затухания по кривой резонанса).
