Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Далее к числу возможных стационарных движений в системе принадлежат периодические движения. Правда, помимо периодических в колебательных системах возможны и другие стационарные колебательные процессы, например квазипериодические. Но в автономной '), т. е. не находящейся под переменным воздействием, колебательной системе с одной степенью свободы, как будет выяснено при более детальном рассмотрении этих вопросов, возможно существование только простейшего типа стационарного колебательного движения — процесса периодического.
Однако не всякие возможные стационарные движения могут существовать в реальной физической системе. Для того чтобы данный стационарный процесс в реальной физической системе мог длиться как угодно долго, необходимо, чтобы при наличии неизбежных случайных толчков система совершала движения, достаточно близкие к данному стационарному движению, и не удалялась бы от него сколько-нибудь заметно. Это требование совершенно аналогично такому же требованию по отношению к состояниям равновесия: чтобы периодический процесс мог продолжаться как угодно долго, он должен быть устойчив по отношению к небольшим изменениям координат и скоростей. Поэтому нам необходимо будет не только находить возможные периодические процессы в системе, но
') Автономными мы будем называть такие системы, которые описываются уравнениями, не содержащими явно времени. Поэтому, рассматривая автономные системы, будем считать, что внешние воздействия не зависят от времени. ВВЕДЕНИЕ
31
и решать вопрос об их устойчивости по отношению к небольшим отклонениям. Точно так же нас будет интересовать зависимость движений системы от параметров, входящих в уравнения и могущих принимать те или другие фиксированные значения (сопротивление, емкость и т. д.). Исследование этой зависимости позволяет дать ответ на ряд основных вопросов, связанных с возникновением колебаний, срывом колебаний и т. д.
Чтобы стационарные состояния могли длительно существовать в реальной системе, они должны быть устойчивы не только по отношению к малым изменениям координат и скоростей, но и по отношению к малым изменениям самого вида дифференциальных уравнений, описывающих систему. Эти малые изменения вида дифференциальных уравнений отражают соответствующие малые изменения свойств той системы, которая этими уравнениями описывается. И так как, с одной стороны, мы никогда не можем с абсолютной точностью описать реальную систему при помощи математического аппарата, а с другой стороны, ни одна реальная система не остается абсолютно неизменной во время происходящих в ней процессов, то всегда надо допускать возможность малых изменений вида дифференциальных уравнений, описывающих реальную систему *).
Если мы при рассмотрении той или иной конкретной задачи приписываем параметрам вполне определенные фиксированные значения, то это имеет смысл только при условии, что малые изменения параметров не изменяют существенно характера движений и в поведении идеальной модели сохраняются те черты, которые нас интересуют. Те же черты поведения модели, которые не сохраняются при малом изменении вида дифференциальных уравнений и величин параметров, не имеют физического интереса, так как они не отражают свойств реальной физической системы. Такие не меняющиеся в своих существенных чертах при малом изменении вида дифференциальных уравнений системы, которые мы будем называть «грубыми» системами, служат теоретическими моделями реальных физических систем, и их мы главным образом и будем изучать в этой книге. Однако то ограничение, которое мы наложили на малые изменения системы, — чтобы при этих изменениях не увеличивалось число степеней свободы или, иначе, порядок уравнения, — весьма существенно. Действительно, с некоторой точки зрения, которую физически можно оправдать, «малым изменением вида» уравнения можно было бы считать также повышение порядка дифференциального уравнения,
') Эти малые изменения системы или малые изменения вида дифференциальных уравнений будем сначала предполагать такими, которые не меняют порядка исходного дифференциального уравнения (или, что то же, не меняют числа дифференциальных уравнений первого порядка, если мы рассматриваем только системы первого порядка). На языке физики это значит, что рассматриваемые малые изменения системы таковы, что они не вынуждают нас отказаться от идеализации, связанной с числом степеней свободы. 32
ВВЕДЕНИЕ
того, Т. Є.
Рис.
суммарную емкость C1,
если только коэффициенты при появляющихся вновь более высоких производных достаточно малы. А «малое изменение вида» дифференциального уравнения, заключающееся в повышении порядка уравнения, есть результат учета каких-либо новых степеней свободы системы, учета каких-то «паразитных» параметров ее. Так, например,
в случае электрической схемы, изображенной на рис. 8, учитывая только индуктивность L, емкость С и активное сопротивление катушки самоиндукции R, т. е. основные («не паразитные») параметры, мы получим а. дифференциальное уравнение вто-
рого порядка. Учитывая, кроме «паразитную» емкость между витками катушки, и «паразитную» индуктивность проводов, т. е. индуктивность Lv, вместо уравнения второго порядка получим уравнение четвертого порядка. Но поскольку C1 и Li —• величины малые, это уравнение четвертого порядка можно рассматривать лишь как малое изменение вида исходного дифференциального уравнения второго порядка.
