Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Эти «малые изменения» вида дифференциального уравнения, приводящие к повышению порядка уравнения, можно было бы продолжать как угодно долго, ибо, стремясь к более полному описанию системы, мы всегда приходили бы к все большему и большему числу степеней свободы.
Решив вопрос об устойчивости того или иного стационарного движения, мы должны были бы, строго говоря, также убедиться в том, что данное движение не исчезает и не теряет своей устойчивости при повышении порядка дифференциального уравнения. Действительно, если бы оказалось, что состояние равновесия, устойчивое в том случае, когда учитываются только основные параметры, потеряло свою устойчивость вследствие влияния малого паразитного параметра, повышающего порядок уравнения, то это значило бы, что в действительности это состояние равновесия неустойчиво. Поэтому требование устойчивости состояния равновесия по отношению к таким изменениям уравнения является вполне естественным. Нетрудно показать, что невозможно построить такую идеальную модель динамической системы (выделить такой класс дифференциальных уравнений), для которой состояния равновесия всегда оставались бы устойчивыми, даже если в уравнения системы войдут члены с более высокими производными, имеющими сколь угодно малые, но отличные от нуля произвольные аналитические коэффициенты. Отсюда следует, что нельзя выставить общее требование к идеальным моделям динамических систем о неизменности характера стационарных движений при появлении новых степеней свободы (ана- ВВЕДЕНИЯ
83
логичное требованию грубости при малых изменениях динамической системы, не связанных с появлением новых степеней свободы), а можно лишь учитывать влияние новых степеней свободы, принимая во внимание специфические особенности рассматриваемых систем. С состояниями, «устойчивость» которых обусловливается, в сущности, не свойствами реальной системы, а тем, что мы не учитываем некоторую степень свободы, нам придется встречаться в дальнейшем.
Но не быть «наивными» мы не можем, ибо в противном случае мы должны были бы проверить, не нарушают ли устойчивости данного состояния всевозможные малые паразитные параметры, повышающие порядок уравнения. Однако мы никогда не сможем довести эту проверку до конца, ибо число таких паразитных параметров во всякой системе очень велико и, кроме того, как будет показано, может случиться, что эти параметры влияют в разные стороны, и значит, чтобы проверить их влияние, надо не только предполагать наличие этих параметров, но и знать количественные соотношения между ними, а величин паразитных параметров мы обычно не знаем. Поэтому правильность ответа на вопрос об устойчивости того или иного состояния в реальной системе, как и всякого другого результата теоретического рассмотрения (связанного с неизбежной идеализацией свойств этой системы), может быть проверена только опытным путем.
Форма, в которой мы будем пытаться получить ответ на интересующие нас вопросы, в разных случаях будет различна. Можно было бы получить ответы на все возникающие вопросы, если бы были известны те функции, которые характеризуют состояния системы и изменения этих состояний. Эти функции, которые предстоит нам изучать для того, чтобы определять поведение системы, например зависимость силы тока или напряжения от времени, определены при помощи дифференциальных уравнений, описывающих данную систему, и другого определения не имеют. Только для очень небольшого класса случаев, например для линейных уравнений с постоянными коэффициентами, возможно свести задачу об отыскании таких функций к другой более простой, например к решению алгебраических уравнений или нахождению интегралов (квадратур) от функций, входящих в дифференциальные уравнения.
Поэтому необходимо непосредственно, из самих дифференциальных уравнений, уметь извлечь указания относительно характера и вида функций,- этими уравнениями определяемых.
В первую очередь при этом возникает задача: определить наиболее характерные, так сказать качественные, черты этих функций при помощи геометрического построения так называемых интегральных кривых, т. е. кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Мы будем называть это качественным интегрированием уравнений. Если мы сумеем качественно проинтегрировать рассматриваемое 2 Теория колебаний 34
вввдвнив
дифференциальное уравнение, то получим качественную картину возможных физических процессов в рассматриваемой системе. Большое число вопросов, имеющих фундаментальный практический интерес, носит именно такой качественный характер, например вопрос о наличии устойчивых состояний равновесия, вопрос о существовании устойчивых периодических процессов, вопрос о мягком и жестком режиме и т. д.
Качественное интегрирование существенно- облегчит и количественное интегрирование или, точнее, облегчит решение тех количественных вопросов, которые возникают в физике колебаний. В конечном счете теория колебаний не интересуется численными значениями-функций в тот или другой частный момент времени; ее в основном интересуют те количественные характеристики, которые определяют протекание этой функции на значительных отрезках времени, например в случае периодической функции — ее период, величины коэффициентов разложения в ряд Фурье, спектральный состав для функций, изобразимых при помощи интеграла Фурье, и т. д.
