Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрение именно таких вопросов, самый характер которых делает неизбежной постановку нелинейной проблемы, т. е. заставляет рассматривать систему как нелинейную, и составит нашу основную задачу.
Провести строгое разделение реальных физических систем на «линейные» и «нелинейные», «консервативные» и «неконсервативные», их разделение по числу степеней свободы и т. д. невозможно. Реальные физические системы не являются ни линейными, ни консервативными, не могут иметь конечного числа степеней свободы, ибо они вообще не могут быть описаны совершенно точно при помощи математических соотношений. Поэтому всякое строгое разделение, всякая строгая классификация не могут быть точно проведены для реальных физических систем. Такому строгому разделению поддаются только абстрактные схемы (математические модели), которые получаются в результате известной идеализации свойств реальной физической системы.
В частности, те системы, которые рассматриваются обычно в учебных курсах, не являются какими-то особыми «линейными системами», которые могут быть строго отделены от других, «нелинейных систем», составляющих предмет нашего рассмотрения. И в том и в другом случаях мы рассматриваем часто одни и те же реальные физические системы, но применяем к ним разные способы идеализации. В результате этой идеализации, характер которой, как мы уже указывали, определяется не только свойствами самой системы, но и содержанием поставленных перед нами задач, оказывается возможным разделение систем на линейные и нелинейные, консервативные и неконсервативные, выделение из числа нелинейных неконсервативных систем класса автоколебательных систем, наконец, деление автоколебательных систем на непрерывные (в частности, «томсоновские») и «разрывные».
Проводя это разделение, мы всегда будем приходить к определенным заключениям относительно свойств того или иного класса систем; однако необходимо иметь в виду, что эти свойства, характеризующие систему, являются идеализированными свойствами. Это и естественно, ибо само выделение класса систем, обладающих дан- ВВЕДЕНИЕ
29
ными свойствами, оказалось возможным в результате той или иной идеализации. Так, например, когда мы говорим о свойстве автоколебательной системы как угодно долго совершать колебания с постоянной амплитудой, то это свойство, конечно, нужно рассматривать как идеализированное. В реальной автоколебательной системе колебания не могут продолжаться «как угодно долго»: колебания часов прекратятся, когда кончится их завод, колебания в ламповом генераторе прекратятся, когда разрядится анодная батарея или батарея накала. Когда мы говорим о колебаниях, которые могут длиться «как угодно долго», то отвлекаемся от указанных обстоятельств (конечный запас энергии в заводе часов или в батарее лампового генератора). Совершенно так же только приближенный смысл имеет утверждение, что всякая автоколебательная система, например передатчик в радиотехнике, имеет стремление устанавливаться в определенном режиме, т. е. что установившаяся «амплитуда» и период колебаний в таком передатчике постоянны (при фиксированных параметрах). Нетрудно видеть, что фактически благодаря небольшим внешним воздействиям, которые всегда существуют, и благодаря флуктуациям, которые неизбежны, эти величины всегда меняются в некоторых, обычно узких пределах. Более того, очевидно, что даже понятие периодического движения по отношению к реальной системе также является идеализацией. Как уже много раз указывалось, при всяком рассмотрении мы подчеркиваем те или иные свойства реальной физической системы, которые для решения данного вопроса играют принципиальную роль, и отвлекаемся от тех свойств, которые для решения данного вопроса являются второстепенными.
На какие же вопросы мы должны будем пытаться получить ответ при рассмотрении этих нелинейных проблем?
При изучении поведения динамической системы нас обычно прежде всего интересуют так называемые стационарные движения в системе '), так как именно эти движения являются наиболее характерными для поведения системы в течение длительных промежутков времени.
Какие же стационарные движения возможны в тех системах, которые мы будем рассматривать? (Для определенности будем сейчас иметь в виду только динамические модели механических систем.)
') Стационарное движение, грубо говоря, есть то предельное движение, к которому стремится система. Говоря о стационарных движениях, мы понимаем под ними также и состояния покоя, т. е. рассматриваем состояния покоя как частный случай стационарного движения. Можно дать точное математическое определение стационарных движений, отождествив их с так называемыми рекуррентными движениями Биркгофа [34, 139, 96]. Для систем с одной степенью свободы рекуррентными движениями могут бьіть только состояния равновесия и периодические движения. Для более общих систем рекуррентными движениями могут быть более сложные движения, например ' квазипериодические. зо
ВВЕДЕНИЕ
Это могут быть прежде всего состояния равновесия, в которых скорости и ускорения, определяемые из дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, обращаются в нуль. Второе условие равносильно тому, что на систему не действуют никакие регулярные силы, учитываемые дифференциальными уравнениями. Но во всякой физической системе помимо таких регулярных сил действуют и малые нерегулярные силы, например флуктуационного характера. Вследствие наличия этих сил система никогда не может находиться точно в состоянии равновесия и совершает малые движения вблизи состояния равновесия (броуновское движение). Но вблизи состояний равновесия на систему действуют уже и регулярные силы (они равны нулю только точно в состоянии равновесия), которые могут либо возвращать систему к состоянию равновесия, либо удалять ее еще больше. В первом случае будем иметь устойчивые, а во втором — неустойчивые состояния равновесия. Ясно, что для изучения поведения системы нужно уметь не только находить состояния равновесия, но и определять их устойчивость по отношению к малым изменениям координат и скоростей. Устойчивость в этом смысле является необходимым условием того, чтобы система могла находиться вблизи данного состояния равновесия как угодно долго.
