Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Допустимость той или иной идеализации зависит и от тех количественных соотношений, которые характеризуют данную задачу. Например, в упомянутом выше случае с маятником можно пренебречь трением только при условии, что трение достаточно мало и время, в течение которого мы изучаем движение маятника, также не слишком велико. Но когда мы говорим «мало» или «велико», то это имеет смысл только тогда, когда мы указываем, по сравнению с какой другой величиной мала или велика данная величина. И в нашем примере мы должны потребовать, чтобы показатель затухания был мал по сравнению с частотой колебаний (или логарифмический декремент затухания был мал по сравнению с единицей) и чтобы время наблюдения было не слишком велико по сравнению с периодом колебаний. Только при подобных формулировках можно считать вполне исчерпывающими такие количественные характеристики, как «мал» и «велик».
Однако когда приступают к изучению задачи, часто бывает трудно сказать наперед, с какой именно величиной нужно сравнивать данную величину. Тогда применяют количественные характеристики, не указывая, по сравнению с чем именно мала или велика данная величина. В таком случае характеристики теряют свою определенность, но все же сохраняют известный смысл, который подсказывается нашими знаниями о данном круге явлений. И поэтому даже такие расплывчатые количественные характеристики все же могут дать известные указания о характере допустимой идеализации и во венком 18
ВВЕДЕНИЕ
случае о том, в каком направлении следует делать попытки в смысле идеализации задачи. Так, например, с'точки зрения «средних человеческих масштабов» наблюдение за явлением в течение одной минуты — это еще «не слишком долго». С другой стороны, тысячная доля секунды — это «очень быстро». Поэтому мы часто говорим, что колебания маятника затухают «медленно», а колебания в электрическом колебательном контуре высокой частоты затухают «быстро», даже если декремент затухания контуров очень мал и близок к декременту затухания в маятнике. И эти утверждения «мал» и «велик» хотя и не имеют, строго говоря, точного содержания, все же оказывают влияние на то, какие именно идеализации обычно применяются к той и другой задаче. В то время как задача о собственных колебаниях механических систем рассматривается обычно (по крайней мере сначала) без учета трения, при исследовании вопроса о собственных колебаниях в электрическом колебательном контуре почти всегда сразу принимают во внимание активное сопротивление контура. Таким образом, казалось бы лишенные содержания характеристики «мал» и «велик» (без указания, по сравнению с чем) все же толкают нас к выбору определенных идеализации. При дальнейшем рассмотрении эти характеристики «мал» и «велик» приобретают вполне определенное содержание: становится ясным, по сравнению с чем именно должна быть мала или велика данная величина. Мы тоже иногда будем начинать рассмотрение с таких неопределенных предположений — «мал» или «велик», без указаний, по сравнению с чем, но из дальнейшего рассмотрения смысл этих утверждений всегда будет выясняться.
Во всяком физическом рассмотрении, и в частности в нашем дальнейшем изложении, вопрос о характере идеализации, т. е. вопрос о том, какие из свойств реальной физической системы должны быть учтены при построении математической модели и в каком приближении, играет весьма существенную роль; поэтому мы прежде всего должны выяснить, какого именно характера идеализации приходится применять при рассмотрении колебательных систем. Мы будем ограничиваться ниже (не только во Введении, но и во всей книге) исключительно динамическими моделями реальных колебательных систем, т. е. будем пренебрегать в них флуктуациями и всеми другими статистическими явлениямиJ). Соответственно, мы будем считать,
') Косвенно наличие флуктуаций в реальных системах приходится учитывать и в теории динамических моделей реальных систем. Очевидно, что поскольку малые случайные возмущения неизбежны в любых физических системах, в них не могут существовать такие процессы, протекание которых возможно только при отсутствии каких бы то ни было случайных отклонений и возмущений. Отсюда появляются требования, широко используемые в теории динамических систем, чтобы процессы, отображаемые математической динамической моделью и соответствующие процессам, существующим и наблюдаемым в реальной системе, были устойчивыми как по отношению к малым изменениям координат и скоростей, так и по отношению к малым изменениям ВВЕДЕНИЕ
19
что зависимые переменные, входящие в уравнения динамической модели, имеют физический смысл количественных характеристик (достоверных, не вероятностных) состояния системы и тех или иных процессов, происходящих в ней. Если говорить об идеализациях реальных физических систем в виде динамических моделей, то, во-первых, эти идеализации связаны с числом величин, определяющих состояние системы (например, координат и скоростей), и, во-вторых, с выбором законов, связывающих эти состояния или скорости изменений состояний и устанавливающих зависимости между ними. В эти зависимости, которые в большинстве рассматриваемых случаев можно выразить в виде тех или иных дифференциальных уравнений, обычно входит некоторое число постоянных параметров, характеризующих систему. Например, для обычного электрического контура в простейшем случае величинами, определяющими состояние системы, служат заряд и ток, а постоянными параметрами — индуктивность, емкость и сопротивление. Связь между величинами, характеризующими состояние системы, определяется некоторым дифференциальным уравнением, в которое постоянные параметры или их комбинации входят в качестве коэффициентов.
