Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
Соблюсти верное направление по траекториям при этом нетрудно— достаточно провести преобразование не для уравнения
dy __ Q (х, у) dx Р(х,у)'
а для системы
% = Р(х.У). ? = <?(*. 30.
Однако, несмотря на кажущуюся простоту, преобразование Бендик-сона приводит обычно к сложной особой точке высокого порядка в начале координат плоскости и, v, так как каждая интегральная кривая плоскости х,у, уходившая в бесконечность (или выходившая из нее), преобразуется в интегральную кривую, входящую (выходящую) в начало координат плоскости и, v. Так как исследование сложных особых точек высокого порядка обычно бывает весьма сложно, то способ Бендиксона применим лишь в очень редких случаях1).
Поэтому вместо преобразования Бендиксона значительно удобнее пользоваться более сложным по идее, но приводящим к более
О'
простым выкладкам преобразованием Пуанкаре [181]. Геометрическая основа преобразования Пуанкаре заключается в отображении плоскости х,у на сферу радиуса 1, касающуюся плоскости х,у в начале координат (рис. 271). При этом точке N плоскости х,у будем
') Заметим, что, вообще говоря, и преобразование Бендиксона и приводящее к более простым выкладкам преобразование Пуанкаре целесообразно использовать лишь в тех случаях, когда P (х,у) и Q(x,y)—многочлены по x, у. § ГО] ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ 367
ставить в соответствие только одну точку сферы N1, лежащую на полупрямой O1N, проходящей через центр сферы, т. е. лежащую на нижнем (южном) полушарии. На экватор (большой круг, параллельный плоскости X,у) отображаются бесконечно удаленные точки плоскости. По определению преобразования ясно, что прямые линии плоскости X,у перейдут в большие круги сферы, причем прямые, проходящие через начало координат, перейдут в большие круги, перпендикулярные к экватору. Например, прямая PR отображается на большой круг сферы, проходящий через точки PiRi- Интегральные кривые плоскости перейдут в соответственные кривые сферы, причем седла, узлы и фокусы сохраняют тот же вид. Однако на сфере появятся новые особые точки, лежащие на экваторе. Например, через точку С (и точку D) будут проходить все те интегральные кривые (точнее, их изображения), для которых у —»0 при неограниченном удалении от начала, а через точку А (и В)— те, для которых соответственно у ± со. Таким образом, особые точки экватора могут не быть точками пересечения кривых Р(х,у) = 0 и Q(x, у) = 0, но определяются (и определяют собой) поведением интегральных кривых при неограниченном удалении от начала. Отсюда следует удобство этого изображения для определения хода кривых в бесконечности.
Остается выяснить вопрос об аналитическом аппарате, переводящем точки плоскости в точки сферы. Использование координат на сфере (долгот и широт) представляется неудобным, так как формулы перехода недостаточно просты и выражаются не алгебраически (благодаря чему можно излишне усложнить простое уравнение).
Поэтому Пуанкаре употребляет такие формулы преобразования:
*=4' У = ± (5.75)
Очевидно, что т = есть тангенс направления на исследуемую точку.
Координатные линии z = const и т = const суть на плоскости прямые, параллельные оси у, и прямые, проходящие через начало координат. На сфере же они являются большими кругами, проходящими через диаметр AB (г =Const) или OO' (т = const). Очевидно, что эти круги не будут взаимно перпендикулярны. Только в окрестности экватора (z = 0), за исключением малых кусков вблизи точек А и В, можно считать, что они перпендикулярны. Можно построить плоскость, на которой гит будут служить прямоугольными декартовыми координатами: это будет касательная плоскость к сфере, проходящая через исследуемую точку на экваторе. Ось х будет прямой, лежащей в плоскости экватора и направленной в сторону положительной оси у. Ось Z пойдет вертикально вниз. Точки этой плоскости т, г получим, проектируя точки сферы из ее центра O1. Очевидно, что на этой плоскости т, z будет удобно изучать все 368
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
бесконечные точки плоскости х, у, кроме «концов» оси у, изображаемых на сфере точками А и В, и их окрестностей. Для рассмотрения этих точек придется сделать другое преобразование:
У-
X-
(5.76)
Все чертежи будут аналогичны, и ясно, что совокупность обоих преобразований даст поведение интегральных кривых вблизи экватора. Окончательно мы можем получить ясное представление о ходе интегральных кривых, рассматривая из точки O1 нижнее (южное) полушарие сферы. Проектируя затем нижнее полушарие при помощи ортогональной проекции на касательную плоскость к нижнему (южному) полюсу, можем весь ход интегральных кривых очень удобно отобразить на внутренности круга. Преобразуем теперь исходное уравнение
dx ~dt
¦¦Pix, у), к координатам Пуанкаре jc= —
dt
= Q (X, у)
и У-
dx = —
dz
dy =
z dz
Имеем: z dz
dz ~dt
J\ -л
d-.
1
ті**- ж=-р\т> т)« + <?(т, т)'* <5-77)
или, наконец, деля одно на другое, исключаем время:
