Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяют уравнениям
["Л** W] ^12 = \~ду^ ^1 (**¦)]
[ш + Vi (*)] Кп = [^г + ^2 (X)] К2и
X 9
Kl2(x, x) = yj \Vx{t)-V2{t)\dt^-K2l(.x,x). (12.23а) о
§ 4. Уравнения Гельфанда - Левитана и Марченко 195
§ 4. Уравнения Гельфанда - Левитана и Марченко
В этом параграфе мы выведем некоторые интегральные уравнения, которые
чрезвычайно важны для исследования обратной задачи.
Напомним теорему разложения (12.9)
+оо
J <р(?, t) <p(fc, х) dp (Е) = 6 (t - .*). (12.24)
- ОО
Положим в соотношениях (12.18) /(*)=<ро(&. х), g(x) = q>(6, х)
X
Ф0(,k, л:) = ф(k, x)+jK(х, у)ф(k, у)dy. (12.25) о
Пусть t> х\ тогда, подставляя (12.25) в (12.24), имеем
+ 00
J ф(А, 1)Фо(?> x)dp(E) = 0 при t>x.
- СО
Из соотношения (12.13) имеем также
t
Ф(?, /) = Фо(^, 0+J у)У)аУ' о
поэтому при t > X
+00
J Фо(А, *)ФоО&> x)dp(E)-)r
-ОО
i +00
+ J Kit, y)dy J ф0(?, y)<f0(k, x)dp(E) = 0.
0 -00
Теперь совершенно ясно, что
+ оо
J %(k, у) dp0 (Е) = b(t - у),
- 00
13*
136
Гл. 12. Обратная задача
Полагая а(Е) = р(Е) - р0(Д)> получаем
4"
t
Q(t, *)+ J K(t, y)Q(y, x)dy + K(t, x) = 0, (12.26)
0
где
+ CO
?2(/, x) = J <p0(?, t)%(k, x)do(E). (12.27)
- oo
Уравнение (12.26) называется уравнением Гельфан-да - Левитана.
Подобное уравнение можно получить и для А (х, у). Для простоты
предположим, что связанные состояния отсутствуют. В этом случае
соотношение (12.24) можно записать по-другому:
СО
I /ф(Л, *)ф(А, у)а(*-у).
о
Дважды используя формулу (5.11), приходим к разложению
ОО
^ J /(-л, t)[f(k, x) - S(k)f(-k, X)]dk = b(t-x).
(12.28)
Возьмем теперь соотношение, подобное (12.25),
ОО
e~l*x = f(k, jc)+ | А(х, y)f (k, y)dy. (12.29)
X
Из соотношений (12.28) и (12.29) очевидно, что
СО
I f(- k, t) [е~Шх - S (k) eikx] dk = 0, x>t.
-со
§ 5. Ядра F(x) и ?2 (х, у)
197
Вспоминая далее, что
оо
f (- k, t) = еш -1- J A (t, у) eikУ dy,
X
находим
оо
(* + *)+ J F(x-\-y)A(t, y)dy - A(t, л:) = 0,
(12-30)
= i J \S(k)-l]e^dk.
- oo
При наличии связанных состояний уравнение (12.30) сохраняет свой вид,
только для F(x) в этом случае имеем
+ СО
= h J [S (*)-!'] *"*<** + ]?
-ОО п
где S" - константы нормировки. Уравнение (12.30) называется уравнением
Марченко.
Зная S(k), \}(k)\2, положение связанных состояний и их нормировочные
константы, можно найти яд-рд F(x) и Q{x, у), после чего уравнения (12.26)
и (12.30) можно рассматривать как уравнения Фредгольма для неизвестных А
(х, у) или К (х, у) соответственно. Эти уравнения можно разрешить
стандартными методами. После этого потенциал вычислится по формулам
(12.20). Таково принципиальное решение обратной задачи. Чтобы применить
теорию Фредгольма, необходимо, однако, подробнее изучить ядра F(x) и Q(x,
у).
§ 5. Ядра F(x) и Q (х, у)
Из формулы (12.12) очевидно, что
ОО оо
/ (k) = 1 J Л (0, у) dy = 1 + J Г (у) е-1к*> dy. о о
198
Гл. 12. Обратная задача
Далее из неравенств (12.17) легко вывести, что |Г(г/)| ?L(0, оо).
Действительно,
СО
|Г(1)|<С \\V(t)\df,
ь:2
Я Я оо
^ /|Г(У)|^< \dy \\V(t)\dt =
Уо Уо У!2
оо Щ2 со
=Я J |К(01Л + 2 J t\V(t)\dt-y0 J /|17(/)|Л<
///2 f/o/2 Уо/'2
оо
<2 Г/|^(01Л.
"о/2
Это выражение имеет конечный предел при //-> оо, так как
ОО
Г *|1/ (0|Л < со.
0о/2
Имеем также
Н со оо HJ2
о< ГдГу Г|К(/)|л<я Г |^(0|Л+2 f /|К(/)№
0о 0/2 Я/2 t/o/2
последнее выражение ограничено при t/0->0, поэтому IГ (у) 161(0,оо).
Из теоремы Римана - Лебега (теорема 8 гл. 2) следует, что функция f(k) -
1 непрерывна по k и обращается в нуль при больших k (см. гл. 5). По
теореме Винера - Леви (теорема 11 гл. 2) величины (n/k)[do(E)/dE\ и S(k)-
1 суть фурье-образы абсолютно интегрируемых функций
+ СО
ЗД=1 + J/40(12,31)
-да
§ 5. Ядра Р(х) и Cl(x,y)
№
причем
+оо
I \F{t)\dt <00,
- ОО
+ 00
Т^=ШП=*7-'~ J "")"*"*=¦
- СО
оо
= 2 | Я (t) cos ktdt, (12.32)
О
+ 00
| IH (t) I dt < 00.
- 00
При отсутствии связанных состояний фаза b(k) = =-V2lnS(fc) также является
аналитической функцией k при -оо<&< + оо, и всегда можно положить
6(±оо)=0. В силу теоремы 11 гл. 2 имеем
00 оо
b(k)= J y{t)s\nktdt, j\y(t)\dt<oo. (12.33) о о
Можно проверить, что
f(?) = exp^J e~tkty(t)dtj,
А) = ехр ^2 J у {t) cos ktdtj. (12.34)
Пусть имеются связанные состояния; введем новую величину
SW=5WlI(|f|)8.
1=1
Функция S(k) имеет те же свойства, что S(k), однако в отличие от S(k) она
не имеет нулей и полюсов.
200
Гл. 12. Обратная задача
В соответствии с формулой (12.34) перестроим функцию f (k):
П
f(k) = f(k) • (12.34а)
i=i
Эти формулы еще раз приводят к соотношениям (5.36), служащим для
восстановления f(k) и p(k) из b(k) и связанных состояний.
§ 6. Изучение уравнений Гельфанда - Левитана и Марченко
Из соотношений (12.32) и (12.27) имеем
2(х, у) = Н(х-у)-Н(х-\-у), (12.35)
и поэтому ядро ?2 интегрируемо в любом конечном интервале как по х, так и
по у. Уравнение (12.26) можно рассматривать как интегральное уравнение
Фред-гольма по переменной х, в котором t играет роль параметра. Поскольку
ядро Q интегрируемо, нам остается только проверить, что однородное
