Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
находим
х) = Фо(k, х) - а----------------4>(ф.д)---------
1+aJ [ф0{ip, у)]2dy
О
Х[Ф"(А. x)%{ip, x) - %{ip, *)ф?(А, *)].
Отсюда можно найти асимптотику <p(k, х) при больших х:
,, , s\nkx (. 2р2 \ . 2р
ф{k' 11 -yrw)CQSkxтф*'
14 Зак. 19
210
Гл. 12. Обратная задана
откуда функция Иоста равна
Найденное таким образом семейство потенциалов является семейством
эквивалентных потенциалов в смысле эквивалентности их фаз, так как все
они имеют одну и ту же функцию Иоста. Это семейство потенциалов является
частью семейства, указанного в начале параграфа. Когда ядро представимо в
виде
N
к (х, у) = (*) Bi (у),
* = I
соответствующая функция Иоста является рациональной функцией более
высокого порядка. Замечательно то, что эти потенциалы были открыты до
того, как Гельфанд и Левитан создали свой алгорифм.
§ 9. Заключительные замечания
Алгорифм Гельфанда - Левитана и Марченко был распространен на волны с
орбитальным моментом /> 1; при этом результаты оказались подобными тем,
которые были получены для 5-волн1). Так же, как и для 5-волн, для /-волн
можно установить соотношение
X
q>(A,, k, x) = 4>t(k, х) <f>0i i (k, *) + J K(x, y)%,t(k, y)dy,
(12.43)
причем ядро K(x, у) удовлетворяет дифференциальному уравнению
у).
') См. Левинсон [62], Иост и Кон [56], Ньютон [74]. Потенциалы,
сингулярные при *=0, были рассмотрены Сташевской [97] И Волком [102].
§ 9. Заключительные замечания
211
а также интегральному уравнению
X
К(х, f/) + Q(jc, "/)+ J К(х, z)Q(z, у)dy = О,
о
где й(г, у) может быть задано с помощью спектральной функции р(?)
+ СО
Щг, у)= j Фо, i (k, z) фо, i {k, у) d [р (Е) - р0 (?)];
- ОО
здесь
+оо
J %(k, х) ф/ (k, у) dp(E) = 6(x - у).
- оо
Соотношение (12.43) обобщалось и на другие более сложные случаи. Ньютон и
Иост [75] изучали его для многоканального рассеяния.
Было бы желательно получить подобное представление для трехмерной
волновой функции и связать полную амплитуду рассеяния непосредственно с
потенциалом. К сожалению, для неюкавских потенциалов не получено пока на
этом пути сколь-нибудь существенных результатов. Заметим еще, что подход
к обратной задаче, подобный изложенному, можно развить, рассматривая
вместо энергии комплексный угловой момент [89, 72].
Отметим, наконец, процедуру обращения Мартина и Таргонского [72], которые
исходили для юкавского потенциала из амплитуды рассеяния при данной
энергии, заданной в функции от передаваемого импульса.
14*
ГЛАВА 13
ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРИИ ОБЫЧНОГО ПОТЕНЦИАЛЬНОГО РАССЕЯНИЯ
§ 1. Многоканальные задачи
Наиболее очевидный путь обобщения теории обычного потенциального
рассеяния состоит во введении дополнительных внутренних переменных,
например спина, или в учете возможности наличия возбужденных состояний
взаимодействующих частиц. Методы решения таких задач не сильно отличаются
от изложенных нами для одноканальной задачи, и поэтому наше изложение
будет достаточно кратким.
Отдельные каналы в задаче рассеяния будем нумеровать индексом а,
предполагая, что подобных каналов конечное число N. Задачи рассеяния с
бесконечным числом каналов еще не изучены. Рассмотрим вначале случай
взаимодействия бесспиновых частиц, обладающих возбужденными состояниями;
при этом будем пользоваться галилеевской инвариантностью. Волновая
функция имеет в этом случае дополнительную переменную а. Пусть т\а и т2а
- массы частиц в состояниях a, a cfa - энергии возбуждения из основного
состояния (а = 0). Нумерация состояний a проводится так, что <^а
монотонно возрастают.
Вместо одного уравнения Шредингера следует рассмотреть систему уравнений
P=i
Галилеева инвариантность требует, чтобы суммарная масса тХа-{-т2а = Mq не
зависела от а и чтобы
N
где
§ I. Многоканальные задачи
213
Следовательно, движение центра масс отделяется, и вместо исходного
уравнения Шредингера получаем
N
- ~Ш~ ~ o3,i)
" Р=1
где Ма - т]аща/(т1а-\- Ща) - приведенная масса в канале а.
Инвариантность относительно обращения времени требует, чтобы ?/а(3 -
= ?/'р. Радиус действия
1 /тар потенциала Uар определяется неравенством
СО
I ebxU4 (х) dx < со, b < тч. о
Юкавские потенциалы ?/ар определим следующим образом:
СО
С е'^х
^ар(*) = J Г-Ф.
тар
где аар (ц), - вообще говоря, обобщенные функции.
В общем случае нужно искать такие решения (13.1), асимптотическое
поведение которых при больших х имеет вид
Фа~ V<k? X+ • fo" k/)> С13-2)
где
kf = kfn, х = xn.
В выражении (13.2) к* и к/ суть начальный и конечный относительные
импульсы сталкивающихся частиц; для них имеем
ЬЩ = 2М^-^), 1М) = 2Ма(?-<?п).
Величина /ор является амплитудой рассеяния. Передаваемый импульс
определим равенством А = к/ - кг;
214 Гл. 13. Обобщения тёдрии потенциального рассеяния
тогда для связанного с ним угла рассеяния получим
й2Д2 = m = 2|f {ма + Afp) - 2 (УИаГа + М^) --4VМаУИр(Г-Га) (Г-Гр)cos <h
(13.3)
Прежде чем детально исследовать полную амплитуду рассеяния, соберем
относящуюся сюда информацию о первой и второй борновских аппроксимациях
