Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
На энергетической поверхности это выражение упрощается
chan(k, =
Таким образом,, при увеличении п разрез сдвигается все дальше и дальше.
Нам остается еще доказать, что полная амплитуда не имеет других
сингулярностей, кроме тех, которые возникают в отдельных членах ряда
теории возмущений. При этом само существование амплитуды рассеяния нам
придется предположить, сославшись на другие более строгие методы, скажем
на строгую теорию Унцикера (гл. 10). Будем предполагать также, что эта
амплитуда регулярна внутри лемановского эллипса (в действительности
достаточно предположить, что она регулярна внутри некоторого
невырожденного эллипса с фокусами -1, +1).
Рассмотрим конечную сумму
тШ) = S тп.
/1 = 1
Интегрируя уравнение (11.1), легко установить, что T(k; kf, кг) - Tw (k\
kf, k,) =
= k/' q. kt)d3q. (11.4)
Гольдбергер [43] показал, как из выражения для остаточного члена (11.4)
можно вывести многие его аналитические свойства и получить полную картину
аналитических свойств при конечных cos 0. Для этого
§ 2. Метод Баукока - Мартина
175
надо разложить обе амплитуды TN и Т в ряды по полиномам Лежандра
относительно cos ft:
оо
TN(k; к7, q)= So(2/+l)MA, kp <7WVv?)'
CO
T (k; q, k,) = S (2/ + 1) a, (k, q, kt) Pt (v • v,).
i=o 4
Подставляя эти разложения в формулу (11.4) и используя известное
тождество (9.10), получаем
J р, (?, • v?) pv (V? • v<) dQq = 2^1- bu.Pt (vt • V/).
Придадим остаточному члену следующий вид:
ОО
!2(2'+:i)^-v/)X
1=0
X J bt(k, kf, g) q2_\,_u-ai{k, q, kt)q*dq.
Напомним (см. гл. 9, § 3), что размеры эллипсов сходимости разложений по
полиномам Лежандра определяются следующими пределами:
lim | (afl | < *-"• */>, lim | (bfl | < <*<• ?>.
/ -> CO /->CO
Размеры соответствующего эллипса для остаточного члена определяются
величиной
sup lim | {atbj)1111,
0-<^-<co l-^co
которая всегда меньше величины exp [-aN(k;,k;)].
Хотя приведенное рассуждение и не является строгим, тем не менее оно
крайне поучительно, ибо позволяет проследить влияние высших порядков
теории возмущений на аналитические свойства амплитуды рассеяния. Так как
верхняя граница обращается в нуль при больших N, то эллипс сходимости
остаточного члена можно сделать сколь угодно
176
Гл. И. Представление Мандельстама
большим, если взять N достаточно большим. Это означает, что амплитуда Т
имеет в любой конечной области те же сингулярности, что и 7W при условии,
что N достаточно велико. Отсюда и из анализа методом парциальных волн в
гл. 6 видим, что более высокие члены имеют сингулярности, расположенные
все дальше, и дальше на комплексной плоскости. В частности, с помощью
конечного числа шагов можно установить аналитическую структуру
сингулярностей в любой конечной области, при этом полное число шагов
будет зависеть от размеров рассматриваемой области.
В рамках приведенных рассуждений нельзя найти аналитическое поведение
амплитуды при больших cos S, так как оно определяется совместным эффектом
всех Тп, и поэтому теория возмущений о нем ничего не говорит. Чтобы
изучить поведение при больших cosfl-, необходимо применить к разложению
по парциальным волнам ^-преобразование.
§ 3. Представление Мандельстама
В 1958 г. Мандельстам [65] предложил для релятивистской амплитуды
рассеяния двойное дисперсионное соотношение. Хотя представление
Мандельстама и не было доказано им самим, тем не менее оно послужило
основой для нового и весьма плодотворного направления исследований. Сразу
же после этого стали предприниматься попытки доказать представление
Мандельстама хотя бы для простых моделей, например потенциального
рассеяния. Первой на эту тему была рассмотренная в § 2 работа [17], в
которой было показано, что представление Мандельстама выполняется в любом
порядке теории возмущений. Однако в этой работе не было сделано каких-
либо окончательных заключений относительно аналитического поведения
полной амплитуды рассеяния. Это последнее звено к доказательству [17]
было добавлено в работе [10]. Совершенно новый подход к вопросу об
аналитическом поведении полной амплитуды рассеяния при больших
передаваемых импульсах t и фиксированных
§ 3. Представление Мандельстама
177
энергиях Е дает метод комплексного углового момента [89], в котором
задача доказательства представления Мандельстама для потенциального
рассеяния решается совсем иначе.
Представление Мандельстама для потенциального рассеяния на юкавском
потенциале является простым следствием результатов гл. 9 и 10.
Действительно, выпишем еще раз дисперсионное соотношение Кури
СО
f(E, = + + l J -1ПУ/4У) dE\ (11.5)
n n 0
где E принимает комплексные значения. Физическая амплитуда получается при
и при подходе
к действительным положительным значениям энергии со стороны полуплоскости
1ш?'>0. Величина fo(t) представляет первое борновское приближение.
Положим, что здесь и в дальнейшем потенциал юкавский
СО
V (х) = J a (p)rcfp.
tn
Тогда
со
m
Для простоты предположим, что f(E,t)-+ 0 при \t\ -*• оо и фиксированном
