Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Альфаро В.Д. -> "Потенциальное рассеяние " -> 47

Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.

Альфаро В.Д., Редже Т. Потенциальное рассеяние — М.: Мир, 1966. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): potencialnieraseyaniya1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 67 >> Следующая

амплитуды рассеяния по заданному потенциалу. С 1947 г. началось изучение
так называемой обратной задачи, т. е. задачи отыскания потенциала по
известной амплитуде рассеяния; кроме нее оказалось необходимым учитывать
также и связанные состояния и характеризующие их нормировочные константы.
Фрёдберг [37] и Хиллераас [49] первыми начали изучать обратную задачу.
Задавая S-фазу рассеяния, они получили формальное выражение для V(x),
чего, однако (как потом оказалось), знать недостаточно. Баргман [2, 3]
первый нашел примеры различных потенциалов, ведущих к одним и тем же
фазам рассеяния с одним и тем же положением связанного состояния. После
этого Левинсон [62] показал, что неоднозначность определения потенциала
связана с возможным существованием дискретного спектра. Марченко [67, 68]
выяснил природу исходных данных для обратной задачи, показав, что для нее
достаточно задать сдвиги фаз, значения энергии связанных состояний и
констант, связанных с величиной С в соотношении
(7.7). Подобные же результаты были независимо получены Постом и Коном
[54, 55], Боргом [15], а также Холмбергом [46]. Наконец, Гельфанд и
Левитан [40] получили в явном виде процедуру построения спектральной
функции, определяемой формулой (11.10), в случае S-волны. Их метод дал
первое эффективное решение обратной задачи для случая, когда спектральную
функцию можно получить только из фаз рассеяния. Природа условий,
налагаемых на S-функцию и гарантирующих существование потенциала,
оставалась несколько туманной, ибо связь между
186 Гл. 12. Обратная задача
5-функцией и потенциальной функцией совсем не тривиальна. Иост и Кон
[56], а также Левинсон [106] применили общий метод Гельфанда - Левитана к
частному классу дифференциальных уравнений, встречающихся в потенциальном
рассеянии, и пришли к тем же самым заключениям, что и Марченко.
После того как были опубликованы упомянутые статьи, была проделана очень
большая работа ') в направлении получения более простых условий на S-
матрицу, гарантирующих существование потенциала, и в направлении
обобщения результатов на другие типы уравнений. Напомним, что в гл. 6 мы
уже описали метод обращения Мартина [71], который применим, однако,
только для юкавских потенциалов.
§ 2. Разложение по собственным функциям
Рассмотрим S-волны; положим
ф (k, х) = ф , k, , f (к, X) = f(j, к, x*J,
= k).
Конечно, все изложение можно было бы сразу распространить на волны с l>
1, однако для простоты это будет сделано только в конце этой главы. Будем
называть в дальнейшем множество значений -oo<ft<oo и k=±iln спектром G
оператора L. Напомним, что -12п являются величинами энергии связи
связанных состояний.
Докажем теорему разложения по функциям ф(&, х) при k?G. Для этого
рассмотрим функцию Грина (являющуюся ядром интегрального уравнения)
Ф (k, х) , У>х,
,?Л> 02-1)
ф(л, у) у<х>
G(E, х, у) =
') Полную библиографию по этому вопросу можно найти в статье Фаддеева
[32].
§ 2. Разложение по собственным функциям
187
где 0 < arg k < я. Ясно, что ядро G(E,x,y) при фиксированных х и у
является аналитической функцией
Е на комплексной плоскости Е, за исключением точек
2 \
спектра G{E>0 и ? = --!")• Далее, имеем оценку (см. леммы 1 и 3 гл. 4)
\0(Е, х, У)\<К (12.2)
где b = Im&>0. Пусть L = -d2/dx2 + V(x). Ядро G(E, х, у) определяет
некоторый ограниченный оператор, а именно резольвентный оператор (L-Е)~
Оно удовлетворяет следующему символическому уравнению:
[-?т+у(х)~Е)0(Е' х' У) =
= (- 1Цр+У№~Е)0(Е' х' У) = Ь(х - У)- (12.3)
Пусть ф(х) -дважды дифференцируемая функция, исчезающая в окрестности
точки х=0 и для достаточно больших х. Тогда если
¦& (х) = - ф" (х) + V (х) ф (х), (12.4)
то функция Ф(х) также обращается в нуль вне любого конечного интервала,
не содержащего х=0. Из уравнений (12.3) и (12.4) следует, что
СО
J 0{Е, х, ?/)ф(у) dy -
О
со
= - f'l'WH-f J 0(Е, х, y)$(y)dy. (i2.5)
о
Интегрируем обе части уравнения (12.5) по окружности \E\=R на
энергетической плоскости. В силу неравенства (12.2) вклад от второго
слагаемого в правой части уравнения (12.5) обращается в нуль при R-+ оо.
Вклад от первого слагаемого равен -2л/ф(х).
188
Гл. 12. Обратная задача
Поэтому имеем
ОО
\1)(дг)==^~ lim J dE J G(E, x, y)ty{y)dy. (12.6)
Л'>0°|?|=Л 0
Рассмотрим тот же самый интеграл на замкнутом контуре С, который состоит
из окружности |?|=Я и кривой, огибающей точки спектра, составленной,
например, из отрезков, соединяющих по порядку точки R - 18, -Ей - е - /е,
-Е0 - е-Ие и ^?-Ие (-Е0 - энергия связи основного состояния). Конечно,
интеграл (12.5) по такому контуру С обращается в нуль, следовательно,
оо
Ш J dE J °(Е> х> У)^(У)аУ+
\Е\=Н О R со
+ 2яГ J dE J [G(? + *e> х, y)-G(E-ie,x, y)]$(y)dy-
О о
оо
- Выч J G (Е, х, у) ф (у) dy = 0, (12.7)
где вычеты в третьем слагаемом левой части нужно брать в полюсах функции
G(E,x,y). Из уравнений (12.6) и (12.7) после некоторых преобразований
находим
J ф^' (*)/(-*) J ф^' У)Ъ(у)'4у +
О о
оо
где в силу соотношения (7.7)
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed