Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
амплитуда рассеяния для частиц со спином имеет следующий общий вид:
оо J4 5
7Г У У да il-l'{SJu'-l)Cls(J, М\ О, Myyfrs,
J = 0 l, l' = \J-S\
где Cts(J, М; О, М)-коэффициенты Клебша - Гор-дана (см. [10], приложение
A), yfrs-нормированные собственные функции переменных J, V, S, М,
v s
S S Crs(J, М; т, т')х?'У?(6, ф)-
m - -V /и'"-S
Здесь X(tm)-спиновая собственная функция. В нашем
частном случае вклад члена (.Sy-i, y_i - l) в амплитуду М=0, S=1 будет
равен
ш S [wsin (C0S ^ -
j=o *-'
у=- et<f sin (cos ft) X]-1 +
+ УЯ,(со8 0)х?](^_1. y-,-1)
Допуская, что можно провести lF-преобразование и что существует только
траектория J = Ji(E), вклад от
222 Гл. 13. Обобщения теории потенциального рассеяния
полюса Ji(E) можно представить в виде
Р(?) Г_2 gjn^ d р (- cosф) х 2k sin nJx ly2 d cos •'i-1
X (e~l4\ - eu%1) + JXPJ{ (- cos ft) x?] ;
ясно, что этот вклад при Ji(E) =0 еще остается конечным, так как и P'j
г(-cos ¦ft), и J ХР-cos O') имеют только простые нули.
Включим теперь тензорные силы, связывающие каналы и и V. Траектории Ji(E)
и J2{E) изменятся, но интересно, что в пределе при / -> 0 недиагональные
матричные элементы тензорных сил исчезают, и каналы опять становятся
фактически независимыми. При У = 0 только канал и входит в амплитуду
рассеяния; бессмысленный канал и выпадает. Наличие влияния бессмысленных
каналов при / = 0 составляет особенность систем со спином в случае, когда
для /, L, S нарушается неравенство треугольника L+S>/>-¦> |L - S|,
которому подчиняется векторное сложение угловых моментов. Тем не менее,
как было продемонстрировано на частных примерах в [41, 42], бессмысленные
каналы всегда можно отделить.
Изложенный метод очень удобен для объяснения того, почему в
релятивистской теории отсутствуют нежелательные "частицы-духи", однако
подробцое обсуждение этого вопроса выходит за рамки настоящей книги.
§ 2. Сингулярные потенциалы
Условия (3.2), а именно
ОО с'
| | V (х) | dx < оо, | х | V (л:) | dx < оо,
с о
оказываются часто слишком узкими, так как они не выполняются для
кулоновского потенциала и потенциала с непроницаемой сердцевиной. Но, как
это ни парадоксально, именно эти два потенциала наиболее широко
используются в феноменологической теории атомньщ и ядерных процессов.
§ 2. Сингулярные потенциалы
223
Приведем обзор имеющихся результатов для случаев, когда условия (3.2) не
выполняются. Задача рассеяния на чисто кулоновском потенциале U(x) = = -
е2/х решается, конечно, до конца; для нее могут быть записаны явно
амплитуда рассеяния и волновая функция. Сингх [94] провел анализ
плоскости комплексного углового момента для этого случая. Литература по
кулоновскому потенциалу настолько известна, что мы приведем только
основные формулы. Трехмерная волновая функция равна
xF(x, О) = <-<*/*) vr (1 - iy) eikx cos XFX (iy, 1; Щ,
где y - Me2/b2k, ? = .*(1-cosd) и ,7^- конфлюент-ная гипергеометрическая
функция, определяемая рядами Куммара [7]. При больших х
W (х, О) ~ 1 - ^-0^cosft) ехр X
X {/tocos § - iy In [to(l - cos d)]} +
+ - j exp (ikx + iy In to),
причем амплитуда рассеяния F (k, cos ¦O') дается выражением
F(k, совй) =
= -ik exp [/v In (1 - cos 0) + fa] •
Регулярная парциальная волновая функция равна
%(х) = xl+1eikx1F1(- гу-|-/ + 1, 2/ + 2; -2ikx),
причем асимптотическое поведение ее при больших х имеет вид
Ф,(х)~е-sin X
X {kx- l - -\-x\l + y\n2kx^ ,
Г1г = arg Г (/ -f- 1 - iy).
224 Гл. 13. Обобщения теории потенциального рассеяния
то функция q>i{x) имеет в асимптотике только расходящуюся волну
Ф-W- г(Г/+'|++!" W-'-'+'Vy**.
Примем (13.12) за определение траектории полюса. Нетрудно узнать в
(13.12) старую боровскую формулу для уровней энергии атома водорода.
Корниль и Мартин [105] рассмотрели класс потенциалов, которые
асимптотически ведут себя как кулоновский потенциал и вместе с тем
являются юкав-скими при т - 0. Наиболее существенным моментом является
то, что для них нет последовательности разрезов, имеющей место в методе
Мартина (гл. 6) для парциальных волн и для амплитуды рассеяния (гл. 11, §
2). Вклады высоких порядков теории возмущений не ведут поэтому к
сингулярностям, сдвигающимся все дальше и дальше с увеличением порядка.
Начало k - О является в этом случае точкой сгущения сингулярностей и,
вообще говоря, существенно особой точкой амплитуды. В окрестности
существенно особой точки мероморфная функция может принимать бесконечное
число раз одно и то же значение; отсюда амплитуда рассеяния может иметь
на ^-плоскости вблизи k = 0 бесконечное число полюсов (связанных
состояний). Это следует также и из формулы для ку-лоновского потенциала.
Бесконечное число связанных состояний не запрещается неравенством
Баргмана,
СО
так как интеграл JxW(x)dx стал расходящимся.
о
В потенциале вида U (х) = (е2/х) + UY(x) юкав-скую часть UY(x) можно
рассматривать как возмущение для кулоновской части. Кулоновские
сингулярности становятся кинематическими, и асимптотика регулярного
решения принимает вид
