Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
и равенство Парсеваля
W и
Iimj F (a)- J f(l) eialdl
da = О
2л J I / (х) fdx = J IF (a) \2da.
-OO — OO
Справедлива и более общая
Теорема 1.7. Пусть /(ж)е Lp(—оо) (l<p=S2). Тогда функция F(а), определяемая интегралом
OO
^7(CC)= J f(l)eialdl,
-OO
принадлежит классу °°) {q = p(p~ I)-1)- Кроме того,
§ 4, СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
25
имеет место обратное соотношение
00
а
P
и неравенство
Mp
Из теорем 1.6 и 1.7 вытекает, что тождество (4.6) можно представить в виде двух равенств:
Переход от f(x) к F(а) называется преобразованием Фурье (в бесконечных пределах), а переход от F (а) к f(x) — обратным преобразованием Фурье. Функция f(x) называется оригиналом, a F(a)—образом или трансформантой Фурье функции f(x). Очевидно, что в силу симметрии формул (4.7) функцию F(а) можно считать оригиналом, a f(x) — ее трансформантой. Поэтому теоремы 1.6, 1.7 и все приводимые ниже факты для f(x) с соответствующими видоизменениями будут справедливы также для F(а), и наоборот.
Приведем некоторые результаты из теории преобразования Фурье (4.7) в пространстве L(—оо).
Напомним [И], что если для функций f(x) и g(x), принадлежащих L( — оо, оо), выполняется равенство
то их значения на (—°°, °°) будут совпадать почти всюду (функции f(x) и g(x) могут отличаться друг от друга лишь на множестве точек їЄ(-“, оо) меры нуль). ЕСЛИ f(x)^L( — оо, оо), то f(x) не обязательно стремится к нулю при \х\ -*¦ оо. Однако, если f(x)<^L(— оо, оо)ПС(С, d) ( — OO < с, d<°°), то f(x) стремится К нулю при \х\ OO не слабее, чем Ы-1. В более общем случае, когда f(x)<^Lp(—°°, d), f(x) = o(\x\~l/t) при
\х\ -*¦ OO *).
') Здесь для установления соотношения порядка между функциями ](х) и \х\-lIr при IхI —оо использована О-символика, которая будет и далее неоднократно применяться. Пишут, что f(x) =Ofg(Z)] при х-+х0, если Iim [/ (x)/g (х)] = 0; пишут, что /(ж)єО[^(х)] при х-*-х0 если
О < lira [/ (X)Ig (х)} < ОО.
OO
OO
(4.7)
— OO
— OO
OO
if —gWl= J \f(x) — g(x)\dx = О,
— OO
26 ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Теорема 1.8. Если f(x)<^L(—°°, °°), то интеграл, определяемый второй формулой (4.7), существует и равномерно сходится при всех Ial =? M < Функция F (а) непрерывна по а и стремится к нулю при Ial
Теорема 1.9. Если f(x)<^L(—°°^ оо)пУ(—оо? оо)) То имеет место соотношение
T [/ (я + 0) + / (х — 0)] = Iim /а (х),
* а-* оо
а (4.8)
fa(x)-±§ F (a) e~ia*da,
— а
где функция F(а) определяется второй формулой (4.7).
Если, помимо сказанного, j(x)^C(c, d) (—°° < с, d<°°), то справедлива первая формула (4.7), причем
\f{x) — fa(x) I ->¦ 0 (a->°°) (4.9)
равномерно по х в любом интервале, внутреннем к (с, d).
Теорема 1.10. Пусть f(x)^L(—°°, °°) и функция f„{x)
определяется по формулам (4.7), (4.8)- Тогда функция
ь
P (х) = Iim ~ Г fa {х) da (4.10)
Ъ-* OO 0 і)
О
принадлежит L(—°°, °°) и почти всюду совпадает с f(x).
Если, помимо сказанного, j(x)<^C (c, d) (—оо < с, d<°°), то
ь
/ (*) — -J J fa (ж) ЙЯ
О
равномерно по ж в любом интервале, внутреннем к (с, d).
Как следствие, из теорем 1.8, 1.9 и 1.10 вытекает, что f(x)=0 почти всюду, если F(a) = 0, и наоборот.
Теорема 1.11. Пусть xhf(x) є L(—°°) (А: = 0, 1, ..и); тогда трансформанта Фурье функции xnf(x) равна I-uFm (а), где F(а) определяется второй формулой (4.7). Функция Ftr0 (а) стремится к нулю при Ial и имеет место асимптотическая формула
F («) ~ 2 тгр(Ю (°) = 0 («") °>- (4-1?
к=0
¦О (6—>-оо)
(4.11)
Пусть fm (х)<^ L(—°°, оо) (? = 0, 1, ..., и); тогда трансформанта Фурье функции fn){x) равна (—ia)nF(a), где F(а) определяется второй формулой (4.7). Функция anF(a) непрерывна,
§ 4. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
27
и имеет место асимптотическая формула
F(a) = o(lal_") (Ы-><»)'. (4.13)'
Теорема 1.12. Если функция f(x, у) такова, что /уП) (х, у) — частная производная и-го порядка по у ^ [я, fr] непрерывна, и, кроме того, при любом фиксированном у функции /уй) (х, у) (& = 0, 1, ..п) принадлежат классу L(—°°, °°), то трансформанта Фурье функции /Г (x^ У) равна Ft^ (а, у), где F(а, у)’ определяется второй формулой (4.7). Функция F^ (а, у) непрерывна по а, у и стремится к нулю при Iai 00 равномерно по у.
Теорема 1.13. Если функция/(.г) имеет вид
ХЛ І (х)
/(*)=!, ,т (0<Цт<1)г (4.14)
TH==O I х — ат I
где fm(x)^L(—оо, оо)п У(-°°, °°), то ее трансформанта F(a), определяемая второй формулой (4.7), непрерывна по а и стремится к нулю при Ial 00 не слабее, чем lal_1+l1 (ц = Sup(^im)).
Изложим теперь некоторые факты из теории преобразования Фурье (4.7) в комплексной области. Допустим, что а — комплексное число (а = о + гт).
Теорема 1.14. Пусть f(x)—функция вещественного переменного х такая, что \f (х) I «S M1 ехр(т_ж) при х +°° и \f(x) I =? =S M2 ехр(т+ж) при х ->¦ — причем т_ < т+; пусть, кроме того, существует T0 (т_<т0<т+) такое, что к функции /(ж)ехр(—Т0Х) можно применить преобразование Фурье для вещественного переменного в виде (4.7). Тогда второй интеграл в (4.7) определяет аналитическую функцию F(а), регулярную в полосе т-< < т < т+, — °° < о < °°, и
