Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Возьмем теперь в качестве вспомогательной задачи другую. Пусть на поверхности тела S задан вектор полного перемещения
u' = gi(Q), u = g2(Q), v = g,(Q). (1,24)
Предположим, что мы сумели найти решение этой задачи теории упругости. Тогда нам будет известен матричный оператор
B(u) = pn(C) (Q^S), (1.25)
т. е. мы будем знать напряжения на поверхности тела S. Как и выше, операторы Bij будут аддитивными и однородными.
По аналогии с (1.21) введем в рассмотрение операторы Mf и Mf- Теперь, удовлетворяя граничным условиям (1.15) смешанной задачи с помощью решения (1.25) вспомогательной задачи (1,24), получим следующую систему трех операторных уравнений относительно неизвестных функций gk на S1:
MV tei) + MV Ы + M13' Ы = Q1 (Q) - вп (Z1) - MV (и) - MtU),
MV (S1) + MV ш + МУ (g3) = q2 (Q) - MV (/х) - MV (/,) - МЇ (/зк
MV Ы + MV Ы + MV Ш = % (Q) - M2V (/х) - M2V (/,) - MV Cf,)
(1.26)
(CeS1).
Решив эту систему, мы придем к вспомогательной задаче
(1.24). Действительно, нам уже будет известен вектор полного перемещения на всей поверхности S, и мы сможем довести решение смешанной задачи типа в) до конца, определив поля перемещений и напряжений внутри тела.
Для смешанных задач теории упругости типа а) и б) изложенная выше схема упрощается.
Именно, для задачи типа а) вида (1.13) система (1.23), как нетрудно установить, принимает форму
4V (P1) = Z1 (С) - 4V («Ti) - A2 (Ps) - As (P3) (Q є S2),
/2 (Q) = Ai (Pi) + 4V (fZ1) + Аг (Рг) + Ал (Рз)> (1-27)
MO = Ас\ (P1) + 4V fax)+ An (Pi) + Аз (л)
(CeS).
Первое соотношение (1.27) представляет собой операторное уравнение для определения pt на S2. После его решения окон-
§ 1, ОБЩИЙ ПЛАН РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
11
чательное исследование смешанной задачи типа а) сводится к вспомогательной, задаче (1.16). Второе и третье соотношения
(1,27) дают возможность найти выражения U = U(Q) и v — f3(Q) на всей поверхности тела S,
Точно так же можно убедиться, что система (1.26) в случае задачи типа а) сводится к одному операторному уравнению
MV (S1) = Si (Q) - M2V (/х) - M2 (Si) - Мз (S3) (Q є S1). (1.28)
Таким образом, смешанные задачи типа а) являются наиболее простыми в математическом отношении (сводятся к решению одного функционального уравнения), а задачи типа в)—наиболее сложными (сводятся к решению системы трех функциональных уравпений).
Промежуточными между задачами а) и в) в смысле математических трудностей являются задачи типа б). Действительно, для задачи типа б) вида (1.14) система (1.23), как нетрудно заметить, принимает форму
ft (Q) = 4i (Рх) + 4V (fh) + 4 V (/?) + 4V (Q3) + 4V (Pa) (Q ^ S), 42V (P2) + 4V (P3) = h (Q) - A21 (P1) - 4V (?) - 4V Ы, (1.29) 4V (pi) + 4« (p3) = /3 (Q) — --I31 (pi) — 4V (?) — 4V (5,3) (Q ^ S2).
Второе и третье соотношения (1.29) представляют собой систему двух операторных уравнений для определения рг и р3 на S2. После их решения окончательное исследование смешанной задачи типа б) сводится к вспомогательной задаче (1.16). Первое соотношение (1.29) дает выражение W = Ji(Q) HaS.
Точно так же система (1.26) в случае задачи типа б) сводится к системе двух операторных уравнений
MV (g2) + MV (gs) = <h (Q) - B21 (gl) - 4V (f2) - Bif (/з), MV (S2) + MV (S3) = Q3 (Q) - B31 (S1) - Bg (f2) - В® (/з) (Q Є S1). (1.30)
При исследовании плоских и осесимметричных задач теории упругости по изложенной схеме надо учесть, что векторы и и р„ имеют лишь две проекции, и поэтому здесь могут быть поставлены лишь смешанные задачи типа а) и б).
При исследовании смешанных задач антиплоской деформации и осесимметричной деформации кручения, т. е. задач «гармонического» типа, возможны лишь задачи типа а).
12 гл. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧГ
§ 2. Основные системы уравнений теории упругости, ньютоновской жидкости и идеальной жидкости
1. Основные уравнения трехмерной теории упругости для изотропного тела [7]. Уравнения Ламе:
(I — 2v) Au + grad0 = 6u, 0 = divu. (2.1)'
Здесь u — вектор полного перемещения, зависящий от радиуса-вектора г и времени t, v— коэффициент Пуассона, 6 = pG_)(l —
— 2v), р — плотность материала тела, G — модуль сдвига, точка означает частную производную по времени. В уравнениях движения (2.1) и далее массовые силы не учитываются.
Заметим, что для декартовой прямоугольной системы
координат
л- du dv dw , , df . df . df ,
dlVu=fe +aJ + ёГ' Srad^ = fe '+df* + аГк*
A a2- a*- a%
A = —; -I---5 -I--?)¦
dx • dy dz~
где и, v, w — проекции вектора полного перемещения на ОСИ X, у, Z.
Уравнения закона Гука:
(dw dv \ I r (Su dv >
fvIeT + ST ’ Xxy~G[dU + dI
2 G I [d — v)
Ox — •1— 2v
п — 2 G [“ — v)
Ov — I — 2v
п — 2 G I ["сі — v)
Oz — I — 2v (I
Sw , (du dv M /і (dv dw
+ V зг + «г V = G — + —
dz ^ v[dx ^ dy Jli
Здесь ex, g,j, Oz (нормальные напряжения) и хху, Txz, r,JZ (касательные напряжения) — компоненты тензора напряжений в декартовой прямоугольной системе координат.
2. Уравнения плоского деформированного состояния изотропного упругого тела. Уравнения Ламе: