Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
для первой задачи, поставленной в § 6,
s = Yui — ікг к = Ь№, т* = HF0OT1t g (ж) = а; (7.5)
для второй задачи
s = U1 т* = рVa, g (х) = аГ1 (?- + cj. (7.6)
Как отмечено в §§ 5, 6, в частных случаях, когда в (7.4) «2 = 0, а в (7.5) и = 0, все три задачи приводятся к интегральному уравнению (7.1) с одним и тем же ядром (см. (5.31),
(6.17), (6.29))
OO
k(t) = Y J ^ eiutdu = - In I th Щ-1. (7-7)
— OO
Уравнение (7.1), (7.7) играет важную роль в теории плоских смешанных задач.
Функцию s_1ths, стоящую под интегралом в (7.2), будем называть символом ядра интегрального уравнения (7.1). Если рассматривать и в (7.2) как комплексную переменную ? = и + iv, то нетрудно убедиться, что символ ядра является регулярной аналитической функцией в полосе Iul < 00, Iul < с. Причем для
§ 7. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
задачи, поставленной в § 5,
43
= (т “ c^) + Y У (т - c^h*)' + ^etht' (7-8)
для задач, поставленных в § 6, соответственно
I /^jx2 , 1 ,/"я2 , (I)2Hi л
= V T + Т|/ — + —г С = Г (7-9)
G учетом сказанного выражение для ядра к (t) можно представить в более общей форме
к (t) = 4 J ~ eiE4, (7.10)
г
где Г — любая бесконечная кривая, лежащая в полосе регулярности символа ядра. Представление (7.10) при решении уравнения (7.1) в ряде случаев оказывается более удобным, нежели (7.2).
Уравнение (7.1), (7.10) относится к важному типу так называемых интегральных уравнений типа свертки (см., например, [25]). Характерной особенностью таких уравнений является зависимость их ядер от разности переменных, т. е. от | — х. Интегральные уравнения с разностными ядрами достаточно хорошо изучены в математической физике (см. список литературы в [25]).
Далее, при изучении различных смешанных задач неоднократно будут возникать интегральные уравнения вида (7.1) с ядрами
л (i) = j Jif (9^? (7.11)
г
где Г — любая бесконечная кривая, лежащая в той полосе регулярности символа ядра K(Z1), которая содержит в себе вещественную ось или же для которой вещественная ось является одной из границ.
Структура решения интегрального уравнения (7.1), (7.11) и его свойства, как будет показано в последующих главах, определяется главным образом поведением символа ядра на вещественной оси. В основном далее будут рассматриваться следующие случаи:
символ ядра является на вещественной оси непрерывной функцией, причем
а) К(и)~ |и|-1 '(Iol-*«>), К(и)~А (в-* 0); (7.12)
44 гл. 1, ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
символ ядра является на вещественной оси непрерывной функцией, кроме ТОЧКИ U = О, причем
b) K{u)~\u\~l (Iul -*¦ о°), К(и) ~ В\и\~1 (и->0),
(7.13)
c) К(и) ~ Iul-1 (ImI-»¦ °°), К(и)~Си~г (и-*- 0);
символ ядра является на вещественной оси непрерывной функцией, кроме конечной системы точек U = Uh, где К(%) имеет простые или двукратные полюса, точки ветвления тина квадратного корня, причем
d) К(и)~\и\~1 (Ы о®). (7.14)
Здесь А, В, С — отличные от нуля постоянные.
В рамки указанных случаев укладывается большинство встречающихся плоских линейных смешанных задач механики сплошных сред. Интегральные уравнения задач, поставленных в § 6, как нетрудно убедиться, принадлежат случаю а). Интегральное уравнение' задачи из § 5 принадлежит случаю а) при є Ф 0 или при є = 0 и са(й/г < л/2. Это же уравнение при є = 0 и с2(о/г = = л/2 принадлежит случаю с), а при е = 0 и с2(о/г > л/2 — случаю d).
В приведенную выше классификацию не входит большая группа смешанных задач о взаимодействии тонкостенных упругих и вязко-упругих элементов со сплошными средами. Эти задачи обладают рядом специфических особенностей. Читателей, интересующихся указанными задачами, отправляем к монографиям [6, 26—43].
В заключение заметим, что в ряде случаев вместо интегрального уравнения (7.1), (7.11), когда контур Г совпадает с действительной осью, удобно рассматривать эквивалентное ему парное интегральное уравнение
OO
J К(и)Ф{и)е~Ых/каи
— OO
OO
J Ф (и) e~iux/kdu = О
— OO
здесь Ф (и)— трансформанта Фурье разрывной функции {ф(х) (Ы =? I), О (Ы > 1)}, определяемая соотношением
і
Ф(и)= I y(l)eiul/%dl. (7.16)
-і
После решения уравнения (7.15) функция ф(ж) может быть найдена с помощью обратного преобразования Фурье.
= 2Л f(x) (I Х\ ^l),;
(М>1);
(7.15)
§ 8. ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ
45
§ 8. Об однозначной разрешимости интегральных уравнений смешанных задач
Изучим этот вопрос на примере интегрального уравнения
(7.1), (7.11) в предположении, что символ ядра К (и) является непрерывной функцией па вещественной оси, а также вещественной и четной; кроме того, пусть К(и) >0 при Iwl < Заметим, что теперь интегрирование в (7.11) можно осуществлять по вещественной оси.
Обозначим интегральный оператор, стоящий в левой части
(7.1), через А. Тогда интегральное уравнение (7.1) запишется в виде
Acp = nf(x) (Ы =? 1). (8.1)'
Умножая (8.1) почленно на ср(х) и интегрируя в пределах от
— 1 до 1, получим эквивалентное (8.1) функциональное уравнение
