Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Hl (a, b)aV (a, b) a M (a, b) a Lp* (a, b) a Lp (а, Ь),
L1J2 (а, Ъ) a L'!2 (а, Ъ), Lp (а, Ъ) a L4 (а, Ъ) (р > q);
кроме того, если f (х)<^ L(a, Ъ), то f(x)^C(a, b). Отметим также, что с пространствами Ip и Lv(а, Ь) тесно связаны неравенства Гельдера
OO
2fjgi <и/м*іьв Uf=lP* s^’7 + { = 1)’
(3.16)
J=I
ь
J f-gdx
<11 f\K-Ii Skq (/ Є Lp, g Є Lq).
3. Пусть В—пространство Банаха. Если каждому элементу /єВ поставлено в соответствие некоторое вещественное (комплексное) число 3(f), то говорят, что на В определен функционал J.
Функционал J называется линейным, если при любых J1, /2єВ и для любых чисел a, P справедливо соотношение
J(a/.+ P/*) = aJ(/,)+pJ(/*).
Говорят, что линейный функционал ограничен на В, если существует такое неотрицательное число М, что для всех /єВ
|J(/) I < M/ll. (3.17)
Наименьшее из чисел М, удовлетворяющее неравенству (3.17), называется нормой функционала J и обозначается IIJlI.
Теорема 1.1 (Рисс). Для всякого линейного и ограниченного в пространстве Гильберта функционала J(/) существует единственный элемент g в этом пространстве такой, что
*(/) = (/,*), IlJII = IIgII. (3.18)
Последовательность {/„} элементов пространства Банаха В называется слабо сходящейся к элементу / (/„ ->/), если для любого линейного и ограниченного функционала JbB имеет место предельное соотношение
lira J (/„) = J (/).
!) Все указанные вложевия справедливы, если а и Ъ имеют конечные значения. Отметим, что из B1CiB2 следует || / IIb ^ т 11 / IIb1, где т — постоянная, не зависящая от / є B1.
2*
20 гл. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Множество m с: В называется сильно (слабо) компактным, если из всякого бесконечного подмножества множества m можно выделить сильно (слабо) сходящуюся последовательность.
4. Пусть B1 и B2 — два банаховых пространства. Предположим, что определено правило, согласно которому каждому элементу /EB1 ставится в соответствие элемент g ^ B2. Тогда говорят, что из B1 в B2 действует оператор А:
А/ = g. (3.19)
Оператор А, удовлетворяющий условию аддитивности и однородности
А(аД + р/2) = аАД + рА/2 (Д, /2еВ()
(a, P — числа), называется линейным.
Будем называть оператор А непрерывным на элементе / є B1, если существует такая последовательность элементов {/„} ^ B1, что имеет место сильная сходимость Afn =>¦ Af.
Оператор- А называется непрерывным на множестве m с B1, если он непрерывен в каждой точке этого множества.
Оператор А ограничен, если существует такая постоянная М, что для всякого / є B1
IlA/ll С Mll/II. (3.20)
Наименьшее из чисел M1 удовлетворяющее неравенству (3.20), называется нормой оператора А и обозначается ПАИ. Любой ограниченный оператор непрерывен, и наоборот.
Оператор А называется обратимым, если для любого g ^ B2 уравнение (3.19) имеет единственное решение. Оператор А-1, обратный линейному оператору А, также линеен.
Оператор А называется положительно определенным, если существует такая постоянная тп, что для всякого / ^ B1
IlA/ll > mil/II (ттг > 0). (3.21)
Теорема 1.2. Если линейный оператор А, действующий из B1 в B2, является положительно определенным, то существует обратный ограниченный оператор А-1, и наоборот.
Оператор А называется оператором сближения (сжатия), если IIAII < 1.
Теорема 1.3 (Банах). Если оператор А, действующий из В в В, является оператором сжатия, a I — тождественный оператор в пространстве В, то оператор 1-А обратим, т. е. уравнение
f = Af + g (gE В) (3.22)
имеет единственное решение /* е В. При этом /* может быть
§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
21
получено как предел последовательности {/„}, где
/n+1 = A/„ + g, f» — g (га = 0,1, ...).
И и HgIl(1^11 Af) (3.23)
Ilbll^ I — Il АIl •
Пусть в гильбертовом пространстве H действует линейный ограниченный оператор А. Оператор А* называется сопряженным оператору А, если для любых /, geH выполняется равенство
(А/, g) = (/, A*g)
и при этом IlAlI = IlА*II. Оператор А, действующий из H в Н, называется самосопряженным, если А = А*.
Линейный оператор А, определенный на B1 и принимающий значения в B2, называется вполне непрерывным, если он переводит ограниченное в B1 множество в сильно компактное множество пространства B2.
Вполне непрерывный оператор слабо сходящуюся последовательность {/„} є B1 (fn -у /) преобразует в сильно сходящуюся последовательность (А/„}єВ2 (А/„=>-А/), следовательно, он
безусловно непрерывен.
Вполне непрерывный оператор А, действующий из пространства В с базисом в В, может быть с любой заданной точностью аппроксимирован конечномерным оператором An, переводящим элементы пространства В в множество п элементов того же пространства. Именно, для любого є > 0 может быть найден конечномерный оператор An такой, что НА — AnII < є.
Рассмотрим в пространстве В уравнение
А/-Л/ = * (g є В), (3.24)'
где А — линейный ограниченный оператор, действующий из В в В, Я — комплексное число.
Число Я называется собственным значением оператора А, если однородное уравнение (3.24) имеет ненулевые решения (собственные функции). Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А.
