Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
1. Линейное пространство В называется банаховым, если
1) каждому элементу /єВ поставлено в соответствие число 11/11, называемое нормой /, удовлетворяющее условиям:
а) Н/Н S5 0, причем 11/11 = 0 тогда и только тогда, когда f= 0;
б) Иа/П = IaI ІІ/ІІ, где а — любое действительное число;
в) имеет место неравенство треугольника
II/ + gll< ll/ll + Ilgll, ?єВ; (3.1)'
2) В — полное пространство.
Чтобы пояснить это свойство, введем следующие определения. Последовательность элементов {/„} є В сходится сильно к элементу / (/п =**/), если limll/ — /nH= 0. Последовательность {/„}
П-»00
называется фундаментальной, если для любого є > 0 существует такое число N, что
II/» — /mil ^ є (n,m>N)
для любых /„ и /т. Пространство В полно, если каждая фундаментальная последовательность {/„} имеет предел /єВ. Таким; образом, для полной системы выполняется критерий сходимости Коши.
Последовательность элементов {ej є В (? = 1, 2, ...) называется базисом банахова пространства В, если любой элемент / є В однозначно представим в виде
OO
/ = 2 1хен 1ш Si = о.
і=і
Однозначность, очевидно, равносильна условию, что только для нуль-элемента все равны нулю.
Банахово пространство называется гильбертовым Н, если любой паре элементов /, g поставлено в соответствие некоторое число (/, g) — скалярное произведение, удовлетворяющее следующим условиям:
г) (/,?) = (?,/);
Д) (f + g,h) = (f,h) + (g,h) (А є В);
е) («/,?) = «(/.?);
ж) (/> /)^®0, причем (/, /) = 0 тогда и только тогда, когда /-0.
При ЭТОМ 11/И2=(/, /) и, кроме того, для любых двух элемен-тов, /> S є H справедливо неравенство Коши — Буняковского
I (/, g) I S= ll/ll . Ilgll. (3.2)
Заметим, что из (3.2) следует неравенство (3.1).
§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
17
2. Примеры банаховых и гильбертовых пространств. 1) Пространство тп, состоящее из всех ограниченных бесконечных числовых последовательностей, с нормой
!/IIm=SUPlZiI {/ = {/J, 1 = 1,2,...) (3.3)
І
является банаховым.
2) Пространство Iv (р Ss 1) бесконечных числовых последова-
OO
тельностей / = {/„}, ДЛЯ которых СХОДИТСЯ ряд S I fj f\ после введения нормы
I OO \ 1/р
!/IIfp=(JjiIZiIp) (3.4)
становится банаховым пространством.
Если положить в (3.4) р = 2 и ввести скалярное произведение
OO
(/, g)ia = 2 fjgj, (3.5)
j=i
то банахово пространство Iz превращается в пространство Гильберта.
3) Аналогом пространства Iv среди функциональных пространств является пространство Lv(a, b) (р^ 1), состоящее из всех функций, абсолютно суммируемых со степенью р на отрезке [а, 6], с нормой
/ Ь \ 1/р
!/11? =MlZf^J J (3.6)
L (а, Ъ) = L1 (а, Ъ)—пространство абсолютно суммируемых при х *= [а> функций. Здесь и далее интеграл будем понимать в смысле Лебега [11].
Пространство Li(а, Ь) гильбертово, причем
ь
(/, ё)ь2 = J f-g dx. (3.7)
а
4) Пространство Lj2 (а, Ь) — пространство функций, абсолютно суммируемых на отрезке [а, 6] со степенью р>1 и весом \(Ъ — х) (х — а)]_1/2, с нормой
H4/.-(І уЛн*-.) T т
есть также пространство Банаха.
2 В. м. Александров, Е. В. Коваленко
18
ГЛ. і. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Пространство L^ (а, Ъ) гильбертово, причем
(/, g) 4s = f --TtIfif,. . . (3.9)
l2 " V Ф — х) (ж — а)
Сходимость в Lv (а, Ь) и Lj,2 (а, Ъ) является сходимостью в среднем с показателем р (во втором случае еще с указанным весом).
5) Еще один пример банахова пространства представляет множество M (а, Ъ) всех ограниченных при х^[а, 6] функций f(x) с нормой
Il/||м= sup \f{x)\. (3.10)
а <х^Ь
Сходимость в M (а, Ь) есть равномерная сходимость.
6) Пространство V (а, Ь) — банахово пространство функций, имеющих ограниченное изменение при х є [а, 6], с нормой
Il/lk = I/(в) I+ V(Z). (3.11)
о.
V (7) = Slip I / (Xj) — f (Х)-Х) і,
и X j=l
где т — произвольное разбиение отрезка [а, 6] (a = X0 < X1 < ... ... < хп = Ъ).
7) Пространство Ск(а, Ъ) функций, имеющих непрерывные производные порядка к при х є [а; Щ, с нормой
ll/IIcft = S max I/(;) (ж) I (3.12)
/'=0
является банаховым пространством; С (а, Ъ) = С0(а, Ъ)—пространство непрерывных при х є [а, 6] функций.
Сходимость в Ch(a, Ъ) означает равномерную сходимость как последовательности самих функций, так и последовательностей их производных у-го порядка (/ =1, 2, ..., к).
8) Банахово пространство Hf (а, Ъ) функций, к-е производные которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем
0 < a =? 1 при х є [а, Ъ], т. е.
\f^ (Xl)-fw (X2) \ S= Ml X1 - X21», ,(3.13)
%i, є [а, 6], M — положительная постоянная.
Норма / (х) є Ht (а, Ь) определяется с помощью формулы fc I fi'O /х\_(х \ I
И/L«= 2 maxI ^(aO I + SUP-------------\7---х 1“ ’¦ (3-14)
НА ~ I 1 — *2 I
причем Xi Xll X2 Є [а, 6], к > 0.
§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
19
Имеют место следующие вложения введенных пространств друг в друга 1):
IpCim, IpCllq (pCq),
Ht+1
(а, Ъ) a Ch+1(a, Ъ)аН% (a, b) a Ch (а, Ь),
