Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. ОСНОВНЫЕ РАЗРЕШАЮЩИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
13
Уравнения закона Гука:
2G Г/. . ди dv I 2G Г.. . ди , ди'
^ = rr^[(l-v)^+v^J, = IZT^ [(1-Vj57+ V^
2Gv Q г (ди dv\ п
Г=~Е- Тху_ G lay + дх)1 xz ~ yz ~~ ‘
, (2.5)
3. Уравнения антиплоской деформации изотропного упругого тела. Уравнения Ламе:
Aitf= W, u = v = 0, w = w (х, у, t) с2 = (2.6)
C2
Здесь, таким образом, уравнение для w совпадает с волновым уравнением [1].
Уравнения закона Гука:
сгх = Cy = Oz= тху = 0, Ticz = Gg, X9Z = Gd^. (2.7)
Соотношения пп. 2, 3, очевидно, применимы для бесконечно длинных цилиндрических тел 1J .
4. Трехмерные уравнения вязкой сжимаемой жидкости2). Уравнения Навье — Стокса [8]:
2 1
V + grad у + ftXv = — — gradp + у grad ft + v Av, ^.8)
p + vgradp + pft = 0, р = Ф(р), Q = rotv, 0 = divv.
В уравнениях (2.8) v—вектор скорости, p — плотность жидкости, р — давление, V = цр-), Ц — коэффициент вязкости, Ф(р) — заданная функция.
В декартовой системе координат
(dvz dv \. (dvx dvz \ (dv dvx\
rotv= \W~ 1 + Ы~д7/ 1 + [di~^) k’ (2'9)
где vx, Vy и V1 — проекции вектора скорости на оси х, у, ъ. Уравнения закона Ньютона:
2 ^их
Ox = —р— J Jiia + 2M^.; %Щ =
Oy = -P-^iiV + 2ц txz=\i[-? + ~?), (2.10)
2 ^vz
Oz = — р — 3- Ji1Q- + 2ц Xyz =
+ %
< dV дх
'iK + дл
, Oz дх
dIl + dvz\
dz ду )
J) Вопроса о применимости соотношений п. 2 к цилиндрическим те-лам'конечной длины здесь не касаемся.
2) Здесь рассматривается модель ньютоновской жидкости с одним коэффициентом вязкости.
14
ГЛ. і. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Для случая несжимаемой жидкости (р = Const) уравнения
(2.8) и (2.10) значительно упрощаются.
5. Уравнения плоского течения вязкой жидкости для малых возмущений плоскопараллельного потока. Будем искать решение уравнений (2.8) в виде
Vx = V+ и, Vy = V1 Vz = O1 р = Px + р01 р = р*+ Po, (2.U)
где Vx = V, P^ и р* = Ф (рх) — параметры плоскопараллельного
потока, направленного по оси х\ и, V1 р0 и р0 — малые возмущения этого потока, являющиеся функциями от х, у, t и исчезающие на бесконечности. Подставляя (2.11) в (2.8) и пренебрегая квадратами возмущений по сравнению со значениями соответствующих величин основного потока, получим
¦ Tr ди I др0 V <?О0
U+ дх ~ р* дх + 3 Ox + V
, т1 дро , V l9fllO , л
+ дх р* ду + 3 ду +vAv’ (2.12)
ш до
Pt> + Vd7 + P*10,0 = 0f = div v°’
Po = Роф' (/>*), V0 = ИІ + Vj.
Уравнения (2.10) примут вид
2 а. , ъ ди 2 а 0 ди
Ox = — P — у M1Qo + 2Ji5Jv Ov=-P--3- M1Q0 + 2H w
2 (ди dv \ n
oz=—p — j\i®0l Txy = Mf57 + ^-], Tx2 = Tyz = O.
Для случая несжимаемой жидкости (р = const) уравнения
(2.12) и (2.13) значительно упрощаются.
6. Уравнения антиплоского течения вязкой жидкости. Пусть
в декартовой системе координат течение жидкости таково, что
Va = Vv = 0, vz = v2(x, у, t), р = р(х, у, t). (2.14)
Тогда из уравнений (2.8) будем иметь
i_vAa, U-lf-0, р_0. (2.15)
Таким образом, для баротропных жидкостей будет р = const, р = = const, а из первого уравнения (2.15), которое по структуре совпадает с уравнением теплопроводности [1], найдется компонента V1.
Уравнения (2.10) примут вид
dvz dvz
ох = Оу = аг = —р, Txy = O, Tх2 = ц-—, Xyz = р—, (2.16)
§ 2. ОСНОВНЫЕ РАЗРЕШАЮЩИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
15
7. Уравнения идеальной жидкости. В уравнениях (2.8) и
(2.10) надо положить v = ц = 0. Если еще предположить, что течение потенциально, т. е.
V = grad ф, (2.17)
то й = 0, и из первого уравнения (2.8) можно получить так называемый интеграл Коши
Ф + у (gradф)'г + P = F(t), P = р = ф(р), (2.18)
где F (t)—произвольная функция времени. Второе уравнение
(2.8) принимает вид
р + grad ф • grad р + р Дф = 0. (2.19)
Как видно, для случая несжимаемой жидкости (р = Const) ф должна быть гармонической функцией.
8. Уравнения идеальной жидкости для малых возмущений плоскопараллельного потока. Будем искать решение уравнений
(2.18), (2.19) в виде
Ф = Vx + Фо, P = P* + Po, P = P* + Po, Р* = Ф (Р*)г (2-20)
где Vx = V, Pif л р* — параметры плоскопараллельного потока, направленного по оси х\ ф0, ро и р0 — малые возмущения этого потока, не распространяющиеся на бесконечность. Подставляя (2.20) в (2.18), (2.19) и пренебрегая квадратами возмущений по сравнению со значениями соответствующих величин основного потока, получим
P.--P.(i. + P%-). С - /Е = №' (2.21)
Л% - 4- (ї. + 2Г 5*. + V- ЭД, _ р,с--, (2.22)
с \ дх дх /
здесь с — скорость звука в жидкости. Заметим, что при F = O уравнение (2.22) принимает форму волнового уравнения; для
установившегося режима (ф0 = 0) при M = Fc 1^=Cl уравнение
(2.22) переходит в уравнение Лапласа, если вместо х ввести переменную I = ^yrI — M2; при ф0 = 0 и М>1 уравнение (2.22) будет иметь вид
^ ^_^Ф=0. (2.23)
ду1- dzl dl1 ' '
если вместо X ввести переменную ? = — 1.
16 гл. і. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
§ 3. Некоторые сведения из функционального анализа
Приведем некоторые основные факты из функционального анализа, необходимые в дальнейшем. Более подробно о них см., например, в [9—13].
