Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
?+(00) = ?-(00) = 0. (4-31)
Определив функции ?+(0 и ?-(?) из уравнений (4.27), (4.29) при граничных условиях (4.28), (4.30) и (4.31), главный член равдомерно пригодного асимптотического решения интегро-диф-ференциального уравнения (4.1), (4.2) прп больших значениях параметра (х> О и f{x)= (х представим в виде
ф(ж) = ?+ [(х(1 — ж)] + ?- [(х(1 + ж)] — 1. (4.32)
4*
212 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
2. Как и уравнение Прандтля, интегро-дифференциальное уравнение Штаермана (4.3), (4.4) может быть приведено к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Именно, хгатегрнруя в левой части (4.3) по частям, получпм
і
Цф'(*) — J ф' (?) In -dl = g{x) (U|<1),;
-1 (4.33)
g(x) = f(x) + -j ф(- I) In + Ф (1)ln ("Чг”)'
К уравнению (4.33) нужно, конечно, добавить условие (4.4). После решения уравнения (4.33) находим ф(я), ф(—1) и ф(1), а произвольную постоянную интегрирования определяем из (4.4).
Пусть f(x)^L2(—l, 1); тогда согласно теоремам 1.3 и 1.4 при условии
I * 1 \1/г
J Jln2=1,2 (4.34)
' —і —і '
решение уравнения (4.33) можно построить методом последовательных приближений или в виде сходящегося степенного разложения по (х-1. Когда f(x)^Lp(—I, 1) (р>1), можно показать
с помощью оценки (4.7), что решение ф(ж) уравнения (4.33),
(4.4), если оно существует при заданном (х, принадлежит классу #о(— I, 1), у = inf (I/q, 1-е).
Покажем теперь, как пнтегро-дпфференцнальное уравнение
(4.3), (4.4) может быть приведено к эквивалентной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Представим функцию q (ж) в виде ряда
CO
Ф (X)=^anPn(X), (4.35)
гг—о
где Рг,(х)—полиномы Лежандра. Используя условие ортогональности [7]
с j 0 (пф і),
}iPn(x)Pi(x)dx=^2{2n + i)-l (ге=.})
легко убедиться, что в силу (4.4) Р = 2а0. Далее найдем [7]
0° 1 CO
ф' (х) = - 2 а“рп (х) (1 - *т1/г- I -F=Trdl =2 2anQn ^)-
п=1 =J b n=o
(4.36)
Здесь Pn(x)— присоединенные функции Лежандра, Qn(x)— функции Лежандра 2-го рода. Разложпм еще функцию f(x) в
§ 4. ИНТЕГРО-ДИФФБРЕНЦIIАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
213
ряд вида
/(*) = - 2 UPi(X) а
(4.37)
п=1
где в силу условия ортогональности [7]
коэффициенты fn даются формулами
і
/* = --??? Ь{Х) Vi-x2Pl(x)dx.
-1
Если f(x)^Lp(—I, 1) (р>1), то ряд (4.37) сходится к функции f(x) по норме Lv (—I, 1); при этом, как указано выше, ф (*)€=#? (-1,1) и ряд (4.35) будет сходиться к функции ф(я) равномерно.
Подставляя (4.36), (4.37) в уравнение (4.3), получим
Умножим (4.39) на Р\ (х) (i Ss 1) и проинтегрируем по ? в пределах от —1 до 1. Далее, используя соотношение [7]
і (і + I) [Pi+1 (х) — Рк_г (ж)] = (2і + I) V i — X2 Р\ (х) (і > 1)
(при п = і — I, i+1 интеграл равен нулю). На основании последнего равенства и (4.38) получим относительно неизвестных коэффициентов ап разложения (4.35) следующую бесконечную алгебраическую систему:
CO
CO
Vi — X2 2 anQn (X)= 2 (~ fn + R«n) P1n (х). (4.39)
и интеграл [7]
і
-і
(при п = к интеграл равен нулю), найдем
і
2ЦІ +!)[! + (— !)"+*]
(г — п — 1) (і — п + 1) (г + п) (i -j- п -р2)
-1
{а, = P/2, і ^l),
214 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Штрихи означают, что в сумме пропущены слагаемые при п = = ?— 1, і + 1. Эту систему нетрудно привести к виду
OO
\ІХ2і + — 2 х2пЬЦ'2п — §2х 2^ ^2г,(Ь
(4.40)
ЦХ2І-1 + — 2 Ж2п-1^2г-1,2п-1 = #2г-1» п=1
Хх ~ aX (2І + 1) г Si = /г (2і + 1) (І ^ 1)|
h 2 (2ге + !)[! + ( !)"+!]
гп (г-ге — 1) (г — ге + 1)(г + „)(г + „ + 2)’ M_1 W+1
Можно убедиться, что при всех І 5s I
OO
E ].ь1п I < S,
П=I
S 2 + 2) ге (га + I) (re + 3) 2 + + ^
©О
= 2 (m+ 1)' (т. + 4) (та + 6) = — 15 ^ ^ + б" ^ ~ 10 ^ ш=о
>"2 (т _|_ 1) (те + 3) (то + 6) 10 т “г 6 T VjI 15
где ^(га)—пси-функция [7]. После несложных вычислений найдем 5=11/5. С учетом этого результата можем заключить, что бесконечная алгебраическая система (4.40) вполне регулярна при
ІцІ > 11/(5я). (4.41)
После решения системы (4.40) значения функции q>(x) в точках X =+I могут быть найдены соответственно по формулам
OO OO
Ф (1) = 2 ап, ф (- 1) = 2 (- 1/4. (4.42)
71=0 п=0
Оценки (4.34) и (4.41) показывают, что интегральное уравнение Фредгольма второго рода (4.33) и бесконечная алгебраическая система (4.40), а следовательно, и интегро-дифференциаль-ное уравнение (4.3), (4.4) эффективно решаются при достаточно больших значениях параметра (х. При малых значениях (х можно получить вырожденное решение уравнения (4.3), (4.4). Именно, устремляя (х к нулю, в силу формулы (2.36) гл. 2 найдем
<4-«»
§ 4. 11НТЕГР0-ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ1ЫЕ УРАВНЕНИЯ
215
Однако решение (4.43) имеет особенности в точках ж = ±1, хотя, как выше отмечалось, ф (х) є Щ (— I, 1).
Приближенное решение интегро-дифференциального уравнения (4.3), (4.4) при малых (х>0, обладающее необходимой гладкостью в точках ж = ±1, может быть получено с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений [16]. Во внешней области Ы<1 — l\i в качестве решения уравнения (4.3) может быть принято вырожденное решение (4.43), причем величину P следует считать произвольной. Во внутренних областях 15* Ы S= > 1 — 1\л должны быть построены решения типа пограничного слоя, «сшитые» с вырожденным решением (4.43). Затем нужно сконструировать такую суперпозицию внешнего решения и решений типа пограничного слоя, которая бы не имела особенностей в точках х = ±1 и удовлетворяла бы условию (4.4).