Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем, как строятся решения типа пограничного слоя для частпого случая f(x) = ^x. Согласно (4.43) для этого случая
ф0(ж) = (1 — x2)~in (P0 + ух2). (4.44)’
Заметим также, что функция
Ф* (х) = — у Vi — X2 (4.45)
тоже удовлетворяет уравнению (4.3) при (х = О, являясь частным случаем внешнего решения. Введем теперь в рассмотрение
= Vli [ф(ж) — ф*(ж)] (4.46)
и перепишем уравнение (4.3) следующим образом:
||^dl = - (х) - (4-47)
Растянем окрестность точки х = — 1 в (4.47) путем перехода к новым переменным
т = [Г1 (I + I), t = H-1 (I + х), о|5* (х) = лр (t) (4.48)
и устремим затем ,їх к нулю прп фиксированном t. В итоге получим следующее уравнение для определения функции г)’(?) тппа пограничного слоя в окрестности точки X = — 1:
оо
(O^t <0С). (4.49)
о
Аігалогпчпьш образом, растягивая окрестпость точки х=1 в f4.47), получим такое же уравпение. Чтобы решения тппа по-: рапичпого слоя ор.ицпвалпсь с впепгнпм решением па грапп-цах .т=±1+/ц «пешней и внутренних областей, потребуем
216 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
выполнения соотношении
Ф (I — Zjx)= (х_І/2г|)(/)— — фо (I — Z(X) = CpO + ч)/У2(х/. (4.50)
Устремляя (х к нулю и считая, что здесь I достаточно велико, получим условие
Ф(0~0р. + Т)/У2? (*-»- оо), (4.51)
выделяющее единственное решение интегро-дифферепциального уравнения (4.49). Определив функцию г|)(?) из уравнения (4.49) при условии (4.51), главный член равномерно пригодного асимптотического решения интегро-дифференциального уравнения
(4.3) при малых значениях параметра (х>0 и j(x)=^x представим в виде
1 (Si”)+ ^ ~ї -'¦¦¦ ('1-Г|2)
Ф(*)-у-
Постоянную P0 затем находим из условия (4.4).
§ 5. Сведение интегро-дифференциальных уравнений Прандтля и Штаермана на полуоси к разностным уравнениям со сдвигом. Методы решения разностных уравнений
В предыдущем параграфе при рассмотрении случая больших (х для уравнения Прандтля была показана необходимость решения следующего интегро-дифференциального уравнения на полуоси:
OO
j-n^(*) = 0 (5-1)
О
при граничных условиях
?(0)=1, ф(оо) = 0. (5.2)
В процессе построения асимптотического решения для уравнения Штаермана в случае малых (х была показана необходимость решения другого интегро-дифферепциального уравнения на полуоси
OO
ГіШР + П1|/ (s) = О (0<.9<оо) (5.3)
J T S
о
при условии
г|)(я) ~ s~L/2 (s->- оо). (5.4)'
Метод решения уравнений (5.1), (5.2) и (5.3), (5.4) заключается в сведении их к разностному функциональному уравне-
§ 5. СВЕДЕНИЕ К РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЯМ
217
нию; последние хорошо изучены [17, 18]. Продемонстрируем ‘) этот подход на примере решения интегро-дифференциального уравнения (5.3), (5.4).
Будем искать решение уравнения (5.3) в форме интеграла Меллина (см. § 4 гл. 1)
^ ^ = 2к I? s~Pdp' (5-5)
L
где контур L—прямая Re/? = со. Подставляя выражение (5.5)' в (5.3) и принимая во внимание значение интеграла [7]
OO
\ —d% = zis~v ctg zip (0 < Re р < I),; (5.6)
о
перепишем уравнение (5.3) в виде
2? J (P) S-p^dp — ~ J1F (р) ctg nps~pdp = 0. (5.7)
L L
Положим pW (р) = и (р), аргумент р в первом интеграле (5.7) заменим на р — 1, контур L сдвинем по вещественной осп на единицу и обозначим через L1. Будем иметь
J и (р - I) s-vdp = ^ f и (P) ^ s-Чр. (5.8)
L1 L
Предположим, что на L существует меллиновское обращение функции и (р), а в полосе со — IsSRepsSco она регулярна п стремится к нулю при Ilmpl оо (эти предположения проверяются ниже). Тогда по теореме Коши (см. [5], с. 49), не изменяя подынтегральной функции в первом интеграле (5.8), можно заменить L1 на L и удовлетворить соотношению (5.8), решив разностное уравнение первого порядка
и(р — 1) — p_I ctg яри (р) = О (p^L). (5.9)
Выберем число со таким образом, чтобы в полосе О < Re р sg sSco коэффициент уравнения (5.9) (т. е. функция p_Ictgnp) не имел нулей (0<со<‘/2). В этом случае каноническое решение однородного уравнения (5.9) можно получить методом Барнса [18], который при исследовании уравнений разностного типа с мероморфным коэффициентом основывается на известном свойстве гамма-фупкции Г(р + 1) = рГ(р). Учитывая условия, налагаемые выше на функцию и(р) в полосе со — I sg Rep Sg со,
') Интегро-дифференциальное уравнение (5.1), (5.2) исследовано Кой-тером и Капандия [19, 20].
218 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
запишем искомое решение в виде [21] и (P) = СГ2 (I + р) S (р) (С = const),
(5.10)
|2P+1 г (- п - р + 1/2) Г (- п + р + 1)
г (— П — р) Г (— п + р +
, и (0) = С.
Заметим, что для построения решения уравненпя (5.9) методом Барнса следует воспользоваться формулой представления p_I ctgnp в форме бесконечного произведения [7] '
Опираясь далее на приведенную выше связь pW(p) = u(p), найдем в согласии с (5.10) трансформанту Меллина xF (/?), а следовательно, и саму функцию ^(s) по формуле (5.5). Здесь, однако, возникает вопрос о корректности этой формулы. Для ответа на него, используя формулу Стирлинга [7]