Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
і і
N0 = J фб(x)f(x)dx, N1 = J фa(x)f(x)dx. (6.31)
-1 -1
Для доказательства умножим обе части уравнения (7.1) гл. 1,
(1.3) гл. 2 на ф0 (x)dx и проинтегрируем по х от —1 до 1. Будем иметь
11 1 J ф (E) dl J ф0 (х) k dx = я J / (ж) + а(Р“ (ж)^ dx-
-1 -1 -1
Учитывая, что ф0(ж) — решение уравнения (7.1) гл. 1, найдем
і і
я J ф (E) (б + аЕ) ^E = я f / (х) [бфб (ж) + «Фа (ж)] dx.
-1 -1
Отсюда в силу произвольности б и а вытекают формулы (6.31).
Теперь при помощи первой формулы (6.30) и первой формулы (6.31) найдем N0 в общем случае функции f+(x):
1
IV = 2Ъ ch ^2) Г /+ (х) dx ((К
° Vl- th2 (Ь/2)] J У2 (ch 6- ch хЬ)
Сравнивая формулы (6.27) и (6.32), получим выражение для постоянной Р* в общем случае функции f+(x). Таким образом,
формулы (6.25) — (6.27), (6.32) дают замкнутое решение инте-
§ 6. ДРУГАЯ ФОРМА ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ
159'
грального уравнения (7.1), (7.7) гл. 1 для четного варианта задачи в форме, не содержащей сингулярных интегралов.
Перейдем к определению соответствующего решения интегрального уравнения (7.1), (7.7) гл. 1 для нечетного варианта f(x) = f-(x). Для этого воспользуемся дифференциальной зависимостью между четными и нечетными решениями (см. теорему 2.12). Найдем сначала обращающееся в нуль при ж = ±1 решение для четного варианта интегрального уравнения (7.1 )f
(7.7) гл. I. На основании формулы (6.26) будем иметь
/ \ _ 6 С [< Wshtb]'eft
Ф+ Я I V2 (сЬ ^b-Ch хЪ)
Решение (6.33) имеет место при выполнении условия
P* — i[)+ (I) sh Ъ = 0, (6.34)
которое накладывает ограничение на функцию /+(х).
Возьмем теперь
X
/+ (х) = j /_ (х) dx + M
О
и используем условие (6.34) для определения постоянной М.
Учитывая далее, что ф_ (х) = ф+ (х), найдем решение для нечетного варианта в виде
( л Ъ d С (т) sh Tb d%
cP я dx J т/2 (ch Tb — ch тх)'
(6.35)
I * M —
(г) sh -Tb]7 у2 d Г sh xbf_(x)dx
— shTb sh Tb dx J l/ch Tb —ch xb
О
Для интегральной характеристики Nt получим при помощи (6.35) и (6.18) выражение
і і
N1 = 2 j жф_ (х) dx = - -і f Ф- (т) sh (|) К (th |) dx. (6.36)
О О
Можно получить и другую формулу для Ni. Положим в формулах (6.35) f-(x) = ax. Используя (6.19) и (6.20), найдем
і
«Ъ %Ь К ( t.b гЬ I
160 гл. 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Теперь по второй формуле (6.31) имеем
1
N1 = J фl.(x)f(x)dx. (6.38)
—1
В заключение отметим, что в замкнутом виде может быть также решено следующее парное интегральное уравнение:
с»
( J ф (a) е taxda = 2nf(x) (|ж|^1),
“ pAa)
(6.39)
J Ф (а) і
-ІССХ
da = 0 (I х I > 1),
где Pi(x) и Pz (х) — полиномы степени п. Оно эквивалентно интегральному уравнению (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 с символом ядра К(и) = th UPi (и2/К2) [uPz (гг2А2)] ~1. Метод решения основан на представлении первого соотношения (6.39) в виде линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
OO
Рі(_ІУ^(ж)=М_Й/(ж)’ ^(ж)=2Н J %-^-®(cc)e-iaxda
— OO
(6.40)
л на возможности точного решения этого дифференциального уравнения, а также парного интегрального уравнения (6.1). Таким путем может быть построено приближенное решение задачи типа а), эффективное при всех К ^ (0, °°). Подробнее этот подход будет развит в § 2 гл. 4 и § 2 гл. 5.
§ 7. Об одном методе получения спектральных соотношений для интегральных операторов
Изложим достаточно общий метод вывода спектральных соотношений для интегральных операторов, основанный на теории потенциала [20, 21]. Продемонстрируем его на конкретном примере.
В § 3 было показано, что функция Макдональда K0 (t) может хорошо аппроксимировать главную часть ядра в задачах типа а) .• В связи с этим рассмотрим интегральное уравнение
§ 7, МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ
161
Введем потенциал (о(ж, у) плотности ф(ж)', распределенный HO отрезку
ю (*, У) = J fP © К° [^(Ж~')2 + у2| (7.2)
*1
В работе [22] показано, что функция м(ж, г/)' удовлетворяет уравнению
d2(B (В _ n /7
всюду в плоскости хОу, кроме разреза по отрезку [—I, 1], и
ю(ж, у)-* 0 (х2 + у2 -ч-оо)'. (7.4);
Кроме того, функция (о (ж, г/) непрерывна во всей плоскости, включая и отрезок [-1, IL а ее производная по у претерпевает разрыв непрерывности при переходе с одной стороны разреза на другую, а именно
—У" = * Ф(а) (М<1). (7-5)
Если на разрезе поставить граничное условие
со (ж, О) =/(ж) (|ж|<1), (7.6)1
то интегральное уравнение (7.1) эквивалентно внешней краевой задаче Дирихле (7.3) — (7.6). Для построения ее решения перейдем к эллиптическим координатам ж = cos г] ch |, у = sin г] sh
В этом случае
д2<» . д2а 1 / і os о \ л
IF + 57 - 57'(ch *-cos2D р.?»
(О (0, Tl)=/(COS Tl), й)(оо, I1) = О, а вместо формул (7.5) получим
1Kcos я) =I^nw I <7'8>
Выражение (7.8) справедливо для всех значений т].
Предполагая, что функция /(ж) такова, что может быть разложена на промежутке —1 ^ж<1 в равномерно сходящийся ряд по периодическим функциям Матье типа косинуса [23]:
