Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
L(и, a) = th4u,
где А имеет вид (10.5). Относительная погрешность є этой аппроксимации для различных значений угла а такова:
а* 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180
е% >50 >50 42 18 2,5 4,5 4 2 0,5 0,05 0
С учетом указанной аппроксимации из (10.2), (10.3) найдем
*И)-5® (‘<»>-:йг).
(10.6)
* V" T dp = 0 (a<r<6),
V
I
Сделав во втором соотношении (10.6) замену переменных по формулам I =рс, х = гс, получим сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши (1.34) гл. 2, формула обращения которого имеет вид (2.36) гл. 2. Применив ее и возвратившись затем к старым переменным, будем иметь
'V-TfzSkr-- {a<r<b)- (,0'7)
Здесь P — постоянная, подлежащая определению. Из (10.7),
(10.1) найдем
v(r) = h+ \v'(p)dp = h-\--2Л_ fff arcsin —г ^L- , е ), (10.8)
{ пс Vbc \ е]/Тс J
e = Vl — ис, к = а/Ъ,
где F (х, к)—эллиптический интеграл первого рода.
Постоянную P в (10.8) определим из следующего очевидного условия:
v(b)=0. (10.9)
12 в. М. Александров, Е. В. Коваленко
178 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Тогда из (10.8), (10.9) после простых преобразований получим P----------------------------0,5л/гсУ6с^_1(е)'; (10.10)'
К (к)—полный эллиптический интеграл первого рода.
Коэффициент интенсивности нормальных напряжений K1, возникающих вне щели на ее продолжении, определяется следующими соотношениями:
Ki= Iim ^!(г —Ь)оф(г, 0)= — Iim У2л (b — г) Е 2,v'(r). г-*Ъ-t-О г-*Ь-0 2 (1 — V ) '
(10.11)
Здесь E, V — модуль Юнга и коэффициент Пуассоиа материала клина. Подставляя во второе соотношение (10.11) v'(г) в форме (10.7) и учитывая (10.10), получим
V Eh 1/2пс іП
4 (l — \2) е К (е) УІ (10Л2)
Можно показать, что найденное решение (10.8), (10.12) для всех 0 < а < л при и 0 и у.-*- 1 стремится к точному решению задачи. Пусть, например, у 1, а длина щели I = Ъ — а фиксирована. В этом случае относительная длина пластинки стремится к бесконечности, и, следовательно, влиянием граней клина на ве-личиву Ki можно пренебречь. Данный случай соответствует задаче о расклинивании плоскости полубесконечной пластинкой, впереди которой образована щель длины I. Для этого случая из
(10.12) будем иметь
і • ту* Eh ~\/2jzc -J. “\/1 х Eh /1 л J п»
IimК\ = —-------H7-----Iim > . .,т.-.-.= = ---5—т=. (10.13)
K^i 2(1 —- v“) тс У і к->і Vi _ ис (1 —у)1/2яї
Полученное значение величины Ki в форме (10.13) совпадает со значением Ki, найденным в работе [32].
При помощи численных расчетов можно показать, что найденные соотношения (10.8), (10.12), определяющие соответственно функцию V (г) и величину Ki, можно с надежностью использовать для любых значений у при 85° =? a sS 180°. При а = л полученное решение будет точным. Этот случай соответствует задаче о расклинивании плоскости пластинкой длины а. С одной стороны пластинки образована щель длины I, с другой стороны имеется прямолинейный полубесконечный разрез.
2. Построим теперь решение поставленной задачи при малых значениях параметра у. Следуя методу, изложенному в § 10 гл. 2, асимптотическое решение уравнения (10.2), пригодное для малых значений у, будем искать в виде
V (г) = V1 (г) v2 (г) Vo г(г) (я<г<6), (10.14)
§ 10. ЗАДАЧА О РАСКЛИНИВАНИИ
179
где функция V0 (г) представляет собой главный член асимптотики Vz(r) при гаг1 оо, a V1 (г) и V2.(г) находятся из следующих интегральных уравнений:
ь
J (P) * (in -7-) = 0 (0
I (Ю.15)
j* Vi (р) к (in j dp = 0 (a ^ г < оо).
а
Очевидная замена переменных уравнения (10.15) сводит к одному и тому же уравнению Винера — Хопфа
OO
j оэ (s) к (s — у) ds = 0 (0^г/<оо), (10.16)
причем
MO = 7 “(ln7). ^W=Tw(lnT)1 (10Л7)
Чтобы, получить решение, пригодное для практического использования, ограничимся простейшей аппроксимацией функции Ь(и, а):
.? ^4--7+4- (гг”)>
где при а = л/2 имеем
/1, = 2,549; h2 = 1,652.
Решая далее интегральное уравнение (10.16) методом Винера — Хопфа (см. § 9 гл. 2), найдем
to (у) = — Q (^j- + "J/^ erf Vhiy j {Q = const). (10.18)
Определив из (10.18) и (10.17) функции vt(r), v2(r) и v0(r), а затем используя соотношение (10.І4), получим
у'(г) = -С7[(тГ(я1пт) ^ + ferf (й11п7)Л]х
X .^7 (7) 1Inln^-) A + erf (ftIlnт)Л] (а^г<ь)-
(10.19)
12*
180 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДКЫИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Подставив v' (г) в левую часть выражения (Ю.8), найдем ° (Г)-h-Qb^ict S [^f' +
+ Yf1 erf (hl 1п т-)U erf [hiln t) !l + Ji (r>+ Vi J* (r)}
(10.20)
(jj, = _ Zi1 In x)„
д/л,
/
M- j
erf у ц — ZijS шІ.) V7exP(V)
ц/Л,
ds,
«/"2 (г) - j erf Yhis erf YP- — Ii1S ds.
ln([>/r)
Постоянную Q определим из условия (10.9). Проделав необходимые вычисления, будем иметь
<? =
-1
. (10.21)
Приближенные значения интегралов Jj(b) (/ = 1, 2), относитель* ная погрешность которых при ц = 2,5 не превосходит 0,1%, имеют вид
J1 ф) - [л - erf (Щ] Y ? «¦* (3Ti) - Y\ (т -
¦МЫ = ^{л[(|Х-1).гг(І|П) + y*tf\ +
При возрастании ц указанные равенства стремятся к точным значениям интегралов Jj{b),