Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
р (а2 — X2) К [зс 1 (с)] V [I (с) — X (X)] ІХ ,(с) — X х(х)]
я/р
(—с С X С с), T = Gy
K’lx-1 (С)] 'к Ix-1 (с)]
- Х(*) = (т=
10*
148 гл- 3- МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Отметим, что для обоих рассматриваемых случаев на краях линии контакта штампа с поверхностью тела касательные напряжения т (х) имеют характерную особенность вида 1/Ух.
3. Рассмотрим теперь задачу о чистом сдвиге упругого слоя двумя одинаковыми штампами и периодической системой одинаковых штампов (рис. 3.3). Нетрудно убедиться, что первая
/а
\-l~b -L a h a a * O S I* а l + b
і /’
n. t I
Рис. 3.3
задача для симметричного случая (когда усилия, приложенные к штампам, направлены в одну сторону) приводится к интегральному уравнению
ь
х)
— [ ф+ (?)>
dl = Jt/+ {х) (а:
<Ь),
(5.16)
а для несимметричного случая — к интегральному уравнению
In
[th п(?
¦ х)
4 h
Г
dl = зт/_ (х) (a ^ х ^Ь);
(5.17)
здесь ф+(ж) и Ф-(я)—отнесенные к G (модулю сдвига) контактные касательные напряжения; функции f+(x) и f-(x) равны для данной задачи перемещению к = const, однако для общности будем считать их произвольными из класса H1 (а, Ь) (0<а=?11).
Для исследования уравнений (5.16) и (5.17) сначала изучим случай, когда A-1 = Vb2 — az/(2h) > 1. При этом уравнения (5.16) и (5.17) упрощаются и принимают вид
Г
]?+(&)[-
In-
I2-*2
D
dl = я/+ (x)f D ¦¦
2 (a<z<b),;
§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
149
В первом уравнении (5.18) произведем замену переменных и введем обозначения по формулам
т =
2?2 — а2 — Ь2 . 2х2 — а2 — Ъ2 . ... Ф+ (х) ^2 — а2
----Tl--2----’ ?(0= -----------------
Ъ — а
2х
fit)
2/+ (*)
Vb2-а2
тогда оно примет вид (1.2) гл. 2. Последнее уравнение было подробно рассмотрено в §§ 2—6 гл. 2.
Чтобы построить решение второго уравнения (5.18)', продифференцируем его по х. Будем иметь
ь
Jfrri^d6=(а<х<ь)* (5-19)
а
Уравнение (5.19) напоминает интегральное уравнение (1.34) гл. 2, изученное в §§ 2, 3 гл. 2, поэтому нетрудно записать решение
(5.19) в форме
<Р- (х) =
г V(b2-l2)(?-a2)f'_(l)l
ру-\----------^-----------*
JX V(b*-X2)(x2~a2)
(5.20)
Подставляя (5.20) во второе уравнение (5.18), получим [13]
(к = -}
О о
ро = ^V-(I) dl = -Yffl- j YWT а а г '
Ь Ь
pI = J ІФ- (?) dl = Ь2 J
I2) (I2-а2)
E (к) К (к)
-1 + т*
/_ (5) dl
(5.21)
У{Ъ2-?){12-а2)
Вернемся к интегральным уравнениям (5.16) и (5.17) и в первом из них сделаем замену переменных и введем обозначения согласно формулам
Tl = Chr!, г/ = сЬга;, г = я (2 h)~x,
C = Chra,; d = chrb, ср+ (т]) = (г sh г?)-1 ф+ (|), /* (у) = /+ (х)\
(5.22)
во втором — согласно формулам
Ti = shr|, у = shrx, c=shra, d = shrb,
Ф- (tI) = (г ch г?)-1 ф_ (I), fl (у) = /_ (х).
(5.23)
150 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
В результате уравнения (5.16) и (5.17) примут вид
U
- j Ф± (tI)
In
II — У
Л + У
d-ц = nf± (у) (с < у < d). [(5.24)
Уравнения (5.24) совпадают со вторым уравнением (5.18), поэтому к ним применимы формулы (5.20), (5.21). Возвращаясь в этих формулах к старым переменным и обозначениям, получим решения интегральных уравнений (5.16) и (5.17).
Перейдем к рассмотрению периодической задачи [14]. Можно показать, что для симметричного случая (когда касательные усилия, приложенные к штампам, направлены в одну сторону) задача приводится к интегральному уравнению
і
- j Ф (S)
In I 2 sin --(|^ х) j dl = nf — |ф(6) т* dl,
Ttl1 Ux
/ =
— х \________ 'V' th (iiAfi) — 1
:)-2-
Ь=1
cos (1-х) (|а;К1), (5.25)
Pa
2 h
I
IaG + 1’ G Т(а^) — ф(1), \l— t , X ь_а
1,
а для несимметричного случая (рис. 3.3, б) — к интегральному уравнению
і і
х)
— j Ф (S)
In
т* I [X,
tg "^4?, ^ яf~ I ф (S)т* “Г2")
— 1
(5.26)
\ '00
) _ 2 ^ «¦ !'/¦“ - <> »1 - « cos Л&р» ,і _ х)
к=1
21
(Ы<1, / = Tf/а, G Ч(а1) = ф(|).
При (J. -*¦ оо уравнения (5.25) и (5.26) упрощаются и принимают вид (для общности будем считать, что / = /(#))
1
— J ф (!) In I 2 sin —
I
— J Ф (S)
In tg
2Я я (I — х)
4?,
dl = nf (х) (U|<1),
(5.27)
dl = nf (X) (IzKl).
Первое интегральное уравнение (5.27) для четного случая (f(x) —
§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
151
четная) после замены перемепных и введения обозначений
о Лц с% ПХ
т]= 2cos -у-, у = 2cos—,
с = 2 cos -г-.
ф+ (ті)=* (-Tlsir1-?-] ф(?). f+(y) = f(x)
запишется в форме
2
- j Ф* (Tl)ln I tI - УI dlI = л/+ (У) (с<У
;2).
Последнее после симметризации интервала интегрирования совпадает с (1.2) гл. 2. Далее убедимся, что первое интегральное уравнение (5.27) для нечетного случая (/(ж)—нечетная) после замены переменных и введения обозначений
, JlC , UX л .
11 = tg2T’ У ~ ~9Х~’ С = 0’
2Х
2Х
Ф- (Tl)
-^W|f-(p(g), f*_(y) = f(x),
3 также второе интегральное уравнение (5.27) для четного и нечетного случаев после соответствующих замен переменных и введения обозначений типа (5.22) и (5.23) совпадут по форме с уравнением (5.24).