Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
4. Как было указано в § 3, при справедливости оценки (8.1) гл. 2 ядро для задач группы а) может быть представлено в форме (3.18). Тогда интегральное уравнение (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 запишется в виде
і і
я (1-х) I ,, , г ,VX (1-х'
— (S) In
th ¦
их
d\=nf(x)— W(I)^z1
dl (|®|<1). (5.28)
Для конкретных задач функция mjt) такова, что
max Ttil (t) = Ttil (O) = т > 0, min Ttil (t) = Ttii (t*) = т* < О,
TtiJt)-+0 (Z-^oo)i (5.29)'
причем постоянные пі и m* малы по сравнению с единицей.
На основании формулы (5.7) для интегрального уравнения (5.28) будем иметь
-Vn-
па
V2
2AXK (а)
L
/©-1 JfWmI(1Ti)
dt
у2 (Chb-Chbg)'
(5.30)
a= exp [—Jtf(Al)], Ь = л/(А%),
152 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Допустим теперь, что (р(х)^ 0 при всех Ы < 1. Это неравенство обычно выполняется для физически реальных случаев конкретных задач. Тогда из (5.30) может быть легко получена следующая двухсторонняя оценка для величины N0, справедливая при всех
Xe= (0, оо);
2а [К (а) -(- (т/л) К' (а)] " 2а [К (а) + (т/п) К! (а)]
і
J= Г— i(lUl — , K' (a) = K (YT^a?).
У2 (ch Ь — ch Ь|) V 1
Для случая f(x)=} = const из (5.31) имеем
______/*'. (а>____< Ar0 <--------------------. (5.32)
К (а) + (т/п) К' (a) J 0 ? (а) + (т/п) К' (а)
При использовании оценок (5.31) п (5.32) следует иметь в виду, что 1) если 0<2А<?*, то т = тПі(2/Х); 2) если t* =? 2Д < °°, то m = пг*.
В заключение отметим, что если регулярную часть ядра Ttil (t) в интегральном уравнении (5.28) аппроксимировать вырожденным выражением вида
П
Tn1 (t)= S ьк(К)щ(X)ZhiD k=0
равномерно по X, то, как отмечалось в § 7 гл. 2, решение уравнения (5.28) может быть найдено в замкнутом виде, поскольку точное обращение интегрального оператора, стоящего в левой его части, известно. Важно заметить, что такое приближенное решение будет пригодно при всех Яє(0, оо) (подробнее CM. § 8).
§ 6. Замкнутое решение интегрального уравнения (7.1),
(7.7) гл. 1 в форме, не содержащей сингулярных интегралов
Получим решение интегрального уравнения (7.1), (7.7) гл. 1 в форме, не содержащей сингулярных интегралов [1]. Для этого, подобно тому, как зто делалось в § 7 гл. 1, запишем (7.1), (7.7) гл. 1 в виде эквивалентного ему парного интегрального уравнения
(7.15), (7.16) гл. 1
§ 6. ДРУГАЯ ФОРМА ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ
153
Ф (a) = J ф (х) exaxdx,
(6.2)
— iaxi f ®(х) П®ГС1Ї, е da ¦¦
0 (І а; І > 1).
Заметим, что парное уравнение (6.1) может быть разбито на четный и нечетный варианты, соответствующие разложению функций f(x), ф(а;) и Ф(а) на четные (с «+») и нечетные (с «—») слагаемые. Для четного варианта формулы (6.1), (6.2) принимают вид
OO
j* Ф+ (a) th (Яа) а"1 cos ах da = я/+ (х) (х ^ 1),
о
OO
j* Ф+ (а) cos ах da = O (х> 1),
о
г
Ф+ (а) = 2 [ <p_u (х) cos ах dx,
о
OO
і L м , (ф+(*) (*<*)*
— \ Ф+ (а) cos ах da= А . ^
ItJ +' ' [0 (?>1).
(6.3)
(6.4)
Будем дальше предполагать, что функция f+(x) имеет непрерывную первую производную. Тогда, продифференцировав обе части первого уравнения (6.3) и введя обозначения
а = Ь$, х = уЬ-\ Ь = п%~\ Ф+ (ЬР) = xF(P), f+(x) = g(y),
(6.5)'
получим
OO
j 1F (P) th (іф) sin Py dfj = — TIg' (у) (IJ < Ъ),
’° (6.6)
OO
j 4r (P) cos $yd$ = О (у > Ь).
о
Отметим, что парное интегральное уравнение (6.6), очевидно, эквивалентно сингулярному иптегральному уравнению (5.1), которое получается дифференцированием по х обеих частей уравнения (7.1), (7.7) гл. 1 с правой частью лf+(x).
Получим решение парного интегрального уравнения (6.6) при помощи обобщенного преобразования Мелера — Фока. Предварительно приведем перечень необходимых для дальнейшего формул.
154 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
а) Интегральные представления присоединенных функций конуса [5]:
__ t
РЧУг+ip (ch t)=Y ~ Г.^г f----------------cosP^ (6 Лу
/а + гР V ) \ я г (1Z2 - (1) J (Ch t- Ch yf+ К ’
(t > 0, Re fi < 1/2),
P-Ix /rb л — l/l. sh^t г (— ц -Hp + 1Z2) cos я (и — гр)
^-V2+iP Icn Ч V г (1у2—ц) Г (и+ф+1Z2) ShJtfi А
OO
xI ,C .-??>и/. «><>• !".^KVJ. (6.8)
б) Интегральные представления присоединенных функций конуса при Jj, = — 1. Полагая в (6.7) и (6.8) постоянную Ji = -If получим
_ і
-pzV,+щ (ch О - 1?- J-COS (ch ( — ch yj'‘dy, (6.9)
PLvrfl8 (ch О - Mch у - Ch tj'-dy. (6.10)
t
Используя теперь соотношение [5]
PZfu+^ (ch t) = Гг(~ ^Plv z+i р (ch t) (п= О, 1, ...),
перепишем формулу (6.10) в виде
OO
2 VTcth яр Г л‘/,
Р-Чг+іР (ch t) =-----^ J sin P у (ch г/ — chi)!г dy. (6.11)
t
На базе формул (6.9) и (6.11) получим другие интегральные представления для Р-'/2+гр (ch t), которые и будут нами исиоль-
') Формула (6.8) непосредственно определяет функцию (ch t)
в полосе I Rep, I < 7г- При RepC—7г интеграл в (6.8) есть преобразование Фурье быстро растущей функции. Это преобразование есть аналитическая функция ц, в полосе (Re uI < Va и может быть продолжено в полуплоскость Re и < —7г. В дальнейшем под интегралом (6.10) понимается именно такое продолжение. Его можно осуществить методами, предложенными в монографии [15]. Аналогичный смысл можно придать интегралам (6.11) и (6.13).