Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
случаях [27]:
Щ (0m) + S И* (0«) Cmn (>0 = /* (Qm) (т = 1, 2, . . ., і + 1),
п=1
J74 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
-<«>
^mn
In Щ = Т+Т (^П ^ + (i>i (0m, 0„) + ^-) + Zo(-
cos 0,, + cos I
¦ft*,, (9.11)
«?$(*)
+
cos^m 2 + 1 COS 0,
I + COj (0m, 0n) +
2 cos 0_
I0
COS I
COS I
-Zn
cos Gn + cos 0
6,„„ — символ Кронекера.
После решения систем (9.11) приближенное решение уравнения (8.5) гл. 2 находим по формулам (9.1), (9.4). При этом, как можно показать [26], быстрота сходимости приближенного ю(0) к точному ю*(0) будет определяться неравенством
Л со (0) — ю*(0) Hc sS M(Xi)-1 In і (М = const).
Для интегральных характеристик решения N0 и Nt с помощью соотношений (9.1) и (9.4) получим следующие выражения:
j-fl І+1
nO = TTT 2 (0»)> nI = TTT 2 cos 0»и* (9Л2>
?1—1 Tl=1
При X > V2 Для нахождения практически точных решений обычно достаточно положить і = 3—5.
2. Для сведения интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2 или уравнения (5.28) к конечной линейной алгебраической системе при любых значениях параметра Х^(0, °°) можно также применить изложенную выше схему [9].
Ограничимся рассмотрением нечетного варианта интегрального уравнения (5.28). Сделаем в последнем замену переменных (7.20) и введем обозначения по формулам
To1 (Р, а3 X) = To1 — ^1 (-Mp-),
~ /WN-I <9ЛЗ>
/_ (а) = /_(*), Ф (P) = ( ^sh г I
с учетом которых перепишем интегральное уравнение (5.28) в форме
і і — Jф (P) In j dp = л/-(a) — Jtp(P)TO1 (Р, аД)й|3 (9.14)
О О
(0<а<1).
Если теперь в (9.14) положить ^ — cos ч}?, a = cos0 и ф(Р) =
§ 9. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
179
= И (P) (1 — Р2)-|/2, т0 относительно G)(COSlf)= ю*(і(>) получим интегральное уравнение
я/2
-J а*(ф)
In
COS ^ — COS 6 COS If1 + COS 0
я !%
= л/~ (0) — J (ф) т.*(ф, 0, Щ\\
(9.15)
/I(0) = /_(cos0), т* (\|), 0, к) = Tn1 (cos ф, cos 0, К) (О^0^л/2),
Построим для нечетной функции и(P) интерполяционный полином Лагранжа по чебышевским узлам
i+1
to* (ф)
г + 1
TC=I
771=1
0„ = я (2п — 1) [4 (г + I)]'1 (и = 1,2, ...,г + 1).
(9.16)
Подставляя теперь (9.16) в левую часть уравнения (9.15), вычислим интеграл с помощью формулы (7.19). Интеграл, стоящий в правой части (9.15), вычислим, используя квадратурную формулу типа Гаусса — Эрмита. Подставляя, наконец, найденные выражения интегралов в уравнение (9.15) и давая 0 значения 0j, получим систему уравнений для определения и*(0„):
І+Х
I +
т2и*(0»)
П=1
¦ m*i (0n, Qh К) +
cos (2т — I) 0 cos (2т —¦ 1)
т=1,
2т — 1
-/1(0,0 (9.17)
(/ = 1, 2, ..., г + 1).
После решения системы (9.17) приближенное решение уравнения (5.28) находим по формуле
г-г1
771=1
Sll г J'
(9.18)
Сходимость изложенного метода с ростом числа г узлов коллока-ции может быть обоснована; важно отметить, что при заданной точности приближенного решения величина і не превосходит некоторого значения I0 = 3—5 для всех X ^ (0, °°).
176 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
§ 10. Задача о расклинивании упругого бесконечного клина
В заключение главы приведем решение, полученное Б. И. Сметаниным [29], конкретной задачи типа а); другие примеры решения задачи типа а) содержатся в гл. 5. Кроме того, многочисленные примеры решения задач типа а) изложенными
Граничные условия задачи имеют вид Ф = ±0: иФ = ±/г (O^r^a), Usf-O (Ь^г<°°),
Olf = O (а<г<Ъ), тгф = 0 (0«їг<°°), (10.1)
Ф = ±а: Tnp = Cip = O (0^г<°о);
напряжения на бесконечности исчезают.
Требуется определить форму поверхности щели V (г) и коэффициент интенсивности нормальных напряжений К, возникающих вне щели на ее продолжении (при ф = 0, г>Ъ). Очевидно, что в силу симметрии достаточно рассмотреть область между лу-чами ф = 0 и ф = а (0=^г<°°).
Используя решение уравнений Ламе (2.4) гл. 1, записанных в полярной системе координат, в форме интегралов Меллина (см. [1], гл. 12) и граничные условия (10.1), рассматриваемую задачу можно свести к определению неизвестной функции v(r)s 35щ(г, 0) (a^r^b) из следующего интегрального уравнения:
Функция L(u, а), входящая в представление (10.3), имеет вид
выше методами имеются в моно-
1. Пусть в упругий изотропный клин, ограниченный лучами ф = ±а (0s?r<°°), вдоль биссектрисы его угла «забивается» тонкая абсолютно жестная гладкая пластинка (рис. 3.4) постоянной толщины 2h. Впереди пластинки образуется щель (трещина), занимающая область {ф = 0, a =? г ^ Ъ). Грани клина свободны от напряжений.
графиях [1, 30, 31].
Рис. 3.4
ь
а
OO
k(t) = \ L (и, a) smut du (t = In (р/г)). (10.3)
о
L (и, а) = 2
і 2 2-2 sh иа — и sin а
sh 2иа + и sin 2а *
§ 10. ЗАДАЧА О РАСКЛИНИВАНИИ
177
Отметим следующие ее свойства:
L(и, а)=і + 0{и2е~2иа) (в-*•«>),
(10.4)
L (и, а) = Au +О (и3) (и->0),
где постоянная А —А(а) может быть записана в форме
А = 2 (а2 — sin2 а) (2а + sin 2а)-1. (10.5)
Принимая далее в расчет асимптотическое поведение функции L (и, а) (10.4), аппроксимируем ее выражением (см. (3.17))
