Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. ДРУГАЯ ФОРМА ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ
155
ховаться дальше:
t
D-I . V2 Гsin P^sh ydy /е ,оч
P-,,,+if (ch Ib5inrtJ уА- -: ¦ (6.12)
0
оо
D-г /„u *\ "і/2 cth яр (" cos f>y sh у dy /п ло\
(ch о------------ірг J у=^=. (6.13)
в) Обобщенное интегральное преобразование Мелера— Фока [16]:
OO
Ф (t) = J P th JtP Ф (P) .PIv2-HP (ch і) dp (0< t < OO),.
5 (6.14)
OO
Ф (P) = (- 1)” J ф (t) P7Lv,+iP (Ch і) Sh tdt (р > 0).
г) Разрывные интегралы Мелера [17]:
Tp /WN ft f [2(Chf-Chy)Fv2 (0<y<t),
J ^-‘/,+іР (ch г) cos ру dp = і 0 (о < t < ^ (6.15)
7 (0 (0<у<г),:
J th ярР_1/і+іР (ch t) sin ру dp = J [2(chy_cht)]-V. (о <t<y).
(6.16)
д) Интегралы:
I 1 у 1Chlt-Г1 Д g - thi W2)l- <в'17>
j /сЬт —chidi = 4/2ch-j[^(th-j)
. (6.19)
Здесь K(t) и E(t)—полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Интеграл (6.17) подстановкой th [(т + і)/4] = хг приводится к следующему:
156 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Значения последнего интеграла, а также интегралов (6.18) и (6.19) взяты из [18].
е) Формулы дифференцирования полных эллиптических интегралов [5]:
dK (k) E (к) К (к) HE (к) E (к) — К (к) .
dk - к (I-Iti) к ’ dk - к • (Ь'ги>
Умножим теперь первое из соотношений (6.6) на sh у (ch t — ch у) ~l/2dy и проинтегрируем по у от 0 до t; второе соотношение (6.6) умножим на shj/(chj/— ch t)~u dy и проинтегрируем по у от t до о°. Совершив затем перестановку интегралов в полученных выражениях и воспользовавшись формулами (6.12), (6.13), получим следующее парное уравнение:
OO
J Y (P) til JtP • ІЗРІїд-нр (ch t) dp = (t) (t < b),
° (6.21)
OO
J W (P) th яр • §PZ\,2^ (ch t) ^ = O (t > b),
О
^ = _ VE Г &УІҐШУ ,
4 * v ' sti г J T/Ch t _ ch у
О
Применяя к (6,21) обобщенное интегральное преобразование Me-лера — Фока (6,14) при п= 1, найдем частное решение неоднородного парного интегрального уравнения (6.6) в виде
ъ
1F (P) = - J Р1ги+ 1Р (Ch t) ^ (t) Sh t dt. (6.22)
о
Проверим, имеет ли однородное уравнение (6,6) какое-либо решение. Полагая g'(y) — О и используя интегралы (6.15), (6.16), без труда убедимся, что
1F (P) = PittP- 1/2+гР (ch Ъ) (Pitt = const) (6.23)
дает решение однородного парного интегрального уравнения
(6.6).
Общее решение уравнения (6,6) можно теперь представить в виде
У (P) = [-Р* — t* Wsh Ъ] Z5-V2-HP (ch Ь) +
ь
+ j [i[>* (t) sli t]’ P-4t+it (ch t) dt. (6.24)
О
Здесь учтено соотношение [5]
Р-ЧЛгр (ch t) = Jt Z5-V2-HP (cll t).
§ 6. ДРУГАЯ ФОРМА ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ
157
Возвращаясь в (6.24) к старым переменным по формулам (6.5) и учитывая еще соотношения t = xb, ty*(t) = г[)+ (т), будем иметь
ф+ (а) = [Р* — г[>* (I) sh Ъ] />_і/і+ісе/ь (ch Ь) +
1
+ j ['Ф+ M sh хЬ]'Р_і/г+іа/ь (ch хЪ) dx, (6,25)
О
__ t ,
, * , . У 2 Г sh Xbf+ (х)
¦ф+ (т) = —і—і ¦===dx.
w ShTbJ уChTb-Ch xb
О v
Заметим, что Ф+(а) вида (6,25) удовлетворяет первому соотношению парного интегрального уравнения (6,3) лишь с точностью до постоянной, а второму—полностью,
Найдем теперь по второй формуле (6,4) функцию ф+(ж). Подставляя в (6.4) Ф+(а) вида (6.25) и используя интеграл (6.15), будем иметь
\Р. (I)Shbjb 1\Г+ (T) Sh Tb]' ^t
+ я У2 (ch b — ch хЪ) я J У 2 (ch Tb — ch хЪ)
Функция ф+(ж) в форме (6,26) удовлетворяет интегральному уравнению (7,1), (7.7) гл. 1 с правой частью nf+(x) с точностью до постоянной. Чтобы функции Ф+(а) и Ф+(^) являлись точными решениями интегральных уравнений (6.3) и (7.1), (7.7) гл, 1, выберем соответствующим образом оставшуюся до сих пор произвольной постоянную P*. Используя интеграл (6,18) и формулу (6.26), получим следующее соотношение;
і
= 2 J Ф+ (*) dx = IP* ch”1 А К (th -|) -
_ 2b Г я J
г|>+ (т) ch
(? U(th у) —thf
dx. (6.27)
Здесь учтено первое равенство (6.20).
Рассмотрим теперь частный случай /+(ж) — / = const. Легко видеть, что тогда г|>+(т) = 0 и формулы (6.26), (6.27) принимают вид
Ч»0+ (х) - /V'_ =, N0 = (6.28)
' я У 2 (ch Ъ — ch xb) 0 я ch (Ь/2) '
Подставляя Ф+ (х) в форме (6.28) в левую часть интегрального уравнения (7.1), (7.7) гл. 1 и учитывая, что интеграл, стоящий слева, есть некоторая постоянная при любом х -[-і, 1],
158 гл, 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
в частности при х = —1, будем иметь
1
_ Г In th [& (1 + т)/4] dt = . ,Q 2д\
я J 1/2 (ch 6 —ch Tb)
Вычисляя интеграл в (6.29) при помощи (6.17), найдем постоянную P* для частного случая /+(ж) = / и перепишем формулы (6.28) в форме
ф0 (х) = fbch (Ь/2)______________4
k[V I — th2 (6/2) ] У 2 (ch 6 — Ch хЪ) ^ ^
N0 = IfK [th (6/2)] [К [Vi- th2 (Ь/2)]}-1.
Далее представляет интерес следующая [19]
Теорема 3.7. Пусть <р0(ж) = бфб(ж) + афа(ж)є?р(—I, 1) (1<р<2) есть решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1,
(1.3) гл. 2 для случая f0(x) = 8+ ах и пусть для некоторой другой функции /(г)єЯі(—I, 1) (0<[}<1) также существует
решение уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) гл. 2, принадлежащее
Lp(—I, 1); тогда интегральные характеристики N0 и Nt этого решения могут быть найдены по формулам
