Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
2
'yai
- fc""2 + |.-,в/іЛІ = 2Ф(*)-*| Л,-**
о о J *п
(7.10.22)
где Ф(я)" — фупкция Лапласа.
Найдем функцию распределения с. в. R3 =
=]/^! + Х\ + Xi;— расстояние от пачала координат 0 до случайной точки (X1, X2, X3). Система св. (X1, X2, X3) распределена нормально с параметрами W1 = Zn2 = = тг = 0; Qi = O2 = O3 = о. Для этого достаточно в выражении (7.10.22) положить величину к = г/о:
ЗД = Р{Яз<г> = 2ф(^)-Щв-^
(г>0). (7.10,23)
ЇЛО. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 251
/.(»-)-^(г)-2|*в
"ife)/ (a» Vbi
) (г>0). (7.10,24)
Полученный закон распределения носит название аакона. Максвелла. Найдем его характеристики:
о о г
(7.10.25)
OO
D [Я,] - а,[Д,1- (M [A3])2« 0,371о2; а [A1]- /D[Aa]«0A606a.
Перейдем к системе п нормально распределенных независимых случайных величин и найдем вероятность попадания случайной точки (X1, X2, Xn) в л-мерный гиперэллипсоид Bh (mi = 0; і = 1, 2, ..., п):
Pn «= P {(^іг ^2« • • •* Xn) Є Bk} шт
\(.п) I /(•^ii х^ • * •* •^h) dx-ydx^ «»» dXfi%
(?)
Введем в и-мерном пространстве (да, яг, OrnJ преобразование координат вида
««/.(їгЬО-г-іфі, .... Ф»-і), (7.10.26):
где
=[llw]
i/a
(7.10,27)
— «расстояние» от начала координат до точки (Z1, •.., Xn) в и-мерном пространстве, і><(фі, фп-і) некоторая функция углов поворота фі, ф2, ..., фп-і координатных осей Ox1, Ox2, ..., Oxn.
Этим преобразованием n-мерный гиперэллипсоид превращается в гс-мерную гиперсферу. Якобиан преобра-
Дифференцируя (7.10.23), найдем плотность распределеиия с. в. Rt:
252 ГЛ. 7, СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
• -^і/[(К^)п/2П^і].
Если неограниченно увеличивать гиперэллипсоид (к • -*р°), то
lim P{(X11 Xn) є= Следовательно,
OO
J b^^e^dr « 1,
О
откуда
зования
J ^ r^1 (V2)nU or w ^19 <ра, ,..,Фп-і)> (7.10.28) где w(q>u фп-1)— некоторая функция углов фі, ...
¦ ft фп-і-
Таким образом, мы свели задачу нахождения вероятности попадания случайной точки (X1, X2, ...,Xn) в гиперэллипсоид Вк, к задаче нахождения вероятности попа-
(n \ 1/3
2 я?]
в пределы гиперсферы:
Л>«Р{(Хи ...>Хп)<=Вк)~
hlYit п
о I Ap i=i
X [<ГГ*/ ((2я)п/а. Да,)] dr - ft/f bnrn-h-Tldrt
где Д» — область изменения углов поворота координатных осей;
Ьп« \(n-ti\(V2)nILoiw(q>u фп^і)йфі... Vp) і=1
7,10. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 253
В этом интеграле проведем замену переменных; г* — t\ г ^ Yi; dr шш f 5 dt/2;
оо во і оо п
OO о
Полученный интеграл представляет собой гамма-функцию (см. (6,4,2)), следовательно,
*л~2/[Г(*/2)].
На основании свойств гамма-функции (НАЛ) и (6.4.5) получаем
2Kt"*"*)' л1>и п ~* четон (п 2)»
У2*+і/[/л(л-2)Н] при м - нечетном (и>3),
(7.10,29)
где '(я-2)!І-і- 3- 5-7.-'(л-2)*, (л/2 — 1)! — 1 • 2 • 3 -.—,(л/2-1).
При п > 2 — четном имеем (см, (6.4.11) J
P {(^H •» '* ^n) €Е —
h/Yi "
-WW-ад J •-VV-PIiJ-
- J xn!,~le-*dxJ{n/2-1)1-1-Л (n/2 - 1; *»/2)»
(7,10,30)
m
где Я(лід а) жт 2 aV""e/il — функция, описывающая рас-
пределение вероятностей случайной величины X9 распределенной но закону Пуассона с параметром а (п. 5.2).
При п>3 нечетном вероятность попадания в гиперэллипсоид Bn равна:
.... Хп)є^}-2Ф(А)-^|в-л,/« Jf g,
(7.10.31)
254 ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
(7.10.33)
Дифференцируя выражение (7.10.33) по г найдем плотность распределения случайной величины Rn
где величина Ьп определяется по формулам (7.10.29) для различных тг. При п = 2 получаем закон Рэлея, при тг — =» 3 -— закон Максвелла.
С помощью гамма-функции выражение (7.10.34) может быть записано в виде
где сумма определяется только для нечетных индексов т = 1, 3, 5, (тг-2), (п>Ъ)\ Ф(х)— функция Лапласа.
Напомним, что в формулах (7.10.30) и (7.10.31) величина к представляет собой отношение полуосей /г-мер-ного гиперэллипсоида к соответствующим средпим квад-ратическим отклонениям:
л а а. <ї
/с = -! = -*= ... =,-1= ... = " (7.10.32)
При нормальном гс-мерном «круговом» рассеивании все с. к. о. равны: Oi = O2 = O3 = ... = о„ = о. В этом случае гиперэллипсоид Вл превращается в гиперсферу Ск, а вероятность того, что радиус-вектор Rn = (Х\ + Xl + + Х\ + ... +Х'пУ/2 не выйдет за пределы гиперсферы с радиусом г, будет определяться выражением, которое получится, если в формулы (7.10.30) и (7.10.31) вместо величины к подставить г/о (г > 0}
p{An<r}-Fn(r)-
1 — R{n/2 - 1; г2/(2о2)) при и> 2 (четном);
2Ф("^)~~у|б 2("її)т/т!! ПрИ л>3 (ночеТНОМ)-
7.10. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 255
Можно убедиться в том, что
OO
M [AnJ = J г/„ (г) dr = о V2T ((п + 1)/2)/Г (л/2), (7.10.36)
а2 [Au] - л/ [ Д«1 - M Г І Х\ 1 - S M [Xf] = по2, Li=i j і=і
D[/?n]«cc2 [Я„]-(М [Я,,])2
(7.10.37) (7.10.38)
Пример 1. Рассматривается производство больших интегральных схем (БИС). БИС проходит контроль, если ее входные параметры L — индуктивность, С — емкость и T — быстродействие не превышают величин Z, с и t соответственно. Величины L, С, T независимы, распределены нормально с характеристиками mh or, mc, ас; mh о*. Найти вероятность р того, что БИС пройдет контроль.
