Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


F(r)~l-e-rm2°2) (г>0).
(7.9,25)
7.9. двумерное нормальное распределение 239
M
,2--2
2adr =
2о2
00 з
Последний интеграл представляет собой гамма-функцию (см. (6.4.2)). Следовательно (см. (6.4.5)):
M [R2] =
- V2oT (4) = V2oT (і + і) = /20?^= a/f »1.25a.
(7.9.27)
Найдем второй начальный момент: a2 [A2]= M [Rl] шш
OO
= 2а2 J *бГfcZ* = 2а2, (7.9.28)
так как последний интеграл равен м. о. с. в., распределенной по показательному закону с параметром X ~ 1 (см. (6.2.2)). Следовательно,
D [A2J - CC2 [R2] - (M [Д2])2 = 2а2 - яа2/2 - (4 - я) о2/2 ^
«0,429а2, (7.9.29)
о [R2] = (D [A2])172 - а [(4 - я)/2]1/2« 0,655а. (7.9.30)
Можно доказать следующее утверждение: если расстояние Rz от начала координат до точки (X, F) (рис. 7.9.3) подчинено закону Рэлея с параметром а, а угол Ф распределен равпомерно и интервале от О до 2л и не зависит от с. в. i?2, то система с в. (X, Y) имеет нормальное круговое рассеивание:
тх = ту — 0; Ox = Oy- о.
Если случайная точка (X, Y) распределена нормально по закону (7.9.17), то вероятность ее попадания в пре-
Следовательно, плотность распределения с. в. Rz будет / (г) = F' (г) шш e-rV(zo*) (г > 0) (7 9 26)
Закон распределения св. R2 (см. (7.9.25), (7,9.26)у называется законом Рэлея, зависящим от одного параметра а. Найдем его числовые характеристики:
240
ГЛ. 7, СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
делы прямоугольника R со сторонами, параллельными главным осям рассеивания (рис. 7.9.4), равна ? 6 ? o
P {(X1 У) є A} - j J / (? і,) Лг dj, - J J Z1 (X) h Qf) dx dy% а V a Y
Так как область интегрирования — прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, то
P {(X1 Y) ^ R) ^ (J U (х) dx^j (j U (У) d^j -
(7,9.31)
где Ф(г)— функция Лапласа.
Чтобы приближенно найти вероятность попадания случайной точки (X, У), распределенной по двумерному нормальному закону, в произвольную область D на плоскости хОу (рис. 7.9.5), можно приближенно заменить область D областью, составленной из прямоугольников. На этой идее основано применение так наос ? X зываемых сеток рассеивания, состав-Рис. 7.9.4 ленных из квадратов, вероятности попадания в которые вычислены заранее. Сетка рассеивания, отвечающая случаю кругового рассеивания (о* — о„ = о), выполняется на прозрачной бумаге и накладывается на изображение области D.
X
X
Ряс 7.9.5
Рис. 7.9.6
перестроенное в соответствующем масштабе. Если область D выпукла и невелика по сравнению с эллипсом рассеивания (ее размеры в направлениях осей Ox и Oy не превышают о«, Oy), то удовлетворительную точность можно
7.9. двумерное нормальное распределение
241
получить, заменяя область D одним прямоугольником примерно той же площади (рис. 7.9.6) и вычисляя вероятность попадания точки (X1 Y) в этот прямоугольник.
Пример 1. На станке-автомате изготавливается деталь цилиндрической формы. Полученные в результате обработки длина L и радиус H детали являются независимыми с. в., распределенными по нормальным законам с характеристиками: M [L] = 100 мм; о [L] = Oi «= 0,1 мм; M [H] = 10 мм; о [H] = Он = 0,01 мм. Определить процент бракованных деталей, если деталь считается годной, когда ее размеры определяются условиями (100—0,1) мм < <L<(100 + 0,05) мм; (10-- 0,005) мм < Ж (10 +
+ 0,007) мм.
Решение. Вероятность р того, что деталь не будет забракована, определяется вероятностью попадания системы независимых нормально распределенных св. в прямоугольник R1 изображенный на рис. 7.9.7. По формуле (7.9.31) получаем:
77
10+0,07— 10-0,05 —
100+0}S
к
100 + 0,05 - 100
M
0,1
Ю + 0,007 - 1Oj ф^
100-0,1 — 100 0,1
10 - 0,005
X
0,01
^)] » 0,239,
Следовательно, вероятность брака равна 1 — р »j «0,761. >
Пример 2. Приземление космического летательного аппарата (KJIA) проводится с помощью парашютной системы. Рассеивание точки (X1 Y) приземления KJIA является нормальным круговым с характеристиками: тх = = ту = 0, Ox — Oy — о. Найти радиус круга г, в который с вероятностью 9* приземлится КЛА.
Решение. Искомый радиус г найдем из равенства & = P {Rа < г} = 1 - ехр {- г2/(2а2)},
откуда
г = о(-21п(1-^))1/2. Так, например, при о = 2кми^ = 0,95
г = 2(-2 InO1OS)172«4,89 км. >
242
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Рис. 7.9.8
Пример 3. Место посадки KJlA па планете представляет собой поверхность, па которой в случайном порядке находятся кратеры. Считая, что цептры кратеров на поверхности планеты представляют собой пуассонов-ское поле точек с интенсивностью X, найти закон распределения расстояния R2 от места посадки KJlA до центра ближайшего кратера.
Решение. Найдем функцию распределения св. R2, для чего проведем вокруг точки П посадки KJlA окружность радиуса г (рис. 7.9.8). На рис. 7.9.8 центры кратеров изображены в виде точек. Для того чтобы расстояние R2 от точки П до ближайшего к ней центра кратера Б было меньше г, надо, чтобы в круг радиуса г попал хотя бы один центр кратера. Следовательно,



