Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Нормальное распределение случайного вектора имеет ряд преимуществ перед другими. Немаловажное из пих состоит в том, что задание числовых характеристик си-
7.9. двумерное нормальное распределение 231
стемы: mi, тп2, ..., тп; D1, D2, ..., Dn и матрицы кова-риации \\Кц\\ равносильно заданию закона распределения системы.
Естественно начать рассмотрение нормального распределеиия случайного вектора с самого простого случая — системы двух случайных величии.
Говорят, что непрерывная система св. (X, Y) распределена по нормальному закону, если ее совместная плотность
/(*. У)
1
¦охр —
1
2 l/l-^
2г.
ху
+
(7.9.1)
где exp(z) = e* — показательная функция.
Распределение (7.9.1) называется двумерным нормальным распределением (или нормальным законом на плоскости). Двумерное нормальное распределение часто встречается на ирактике. Например, совокупность ошибок (X, Y) в двух измерениях какой-то величины (или выполпеиия каких-то команд), как правило, имеет двумерное нормальное распределение. Координаты точки приземления (или приводпепия) космического летательного аппарата также распределены по двумерному нормальному закону.
Выясним смысл параметров mx, mv, ох, оу, гху, входящих в формулу (7.9.1). Как нетрудно догадаться, они представляют собой не что иное, как математические ожидания св. (X, Y), их с. к, о. и коэффициент корреляции. Докажем это.
Действительно, по формулам (7.6.5) и (7.6.7)
M [X]=J J*/(x, y)dxdy.
(7.9,2)
Сделаем замену переменных
X1-
У і
' ГХу
/2(1-4), (7.9.3)
232
гл. 7. системы случайных величин
откуда
х — Ox V^x1 + тх\ у =оуу1\Г2 (1 — rly) + avrxy V 2X1 + ту.
(7.9.4)
Для нахождения якобиана / преобразования координат (7.9.3) вычислим производные:
дх4
g-v«Vb Ц--«»/2(1-4).
Следовательно,
J =
OxIdX1 OxIOy1 SyIdX1 SyIOy1
- dJL.dJL _ dJL.dJL - on a VT^7 -Ox1Oy1 Oy1Ox1-^0VV1 r«v>
(7.9.5)
С учетом (7.9.1), (7.9.3)-(7.9.5)' выражение (7.9.2) примет вид:
1
Ox V 2 ххе~ 1ахЛ\ е 'dyA +
+ тх
Интеграл \ ххе dxx •
х1~ 2
2
OO
'2я І*
У2я
ze 2dz\ = 0? (7.9.6)
так как выражение в фигурных скобках представляет собой математическое ожидание случайной величины Z, имеющей нормальное распределение с параметрами M [Z] - 0; D [ZJ - 1 (см. (6.3.2)). Интеграл
2 / оо „2
С -х{
\ е dxx =
2
l- f Г7
1/2л J
dz
(7.9.7)
7.9. двумерное нормальное распределение
233
а все выражение в фигурных скобках равно единице, так как оно представляет собой интеграл в бесконечных пределах от нормальной плотности распределения с. в. Z, у которой M [Z] = 0; D (Z) = 1. Следовательно, M [X] = тх% что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается, что M [Y] = ту. Для вычисления дисперсии Dx найдем сначала второй начальный момент случайной величины X:
M[X*]=^x*f(xiy)dxdy.
Применяя замену переменпых (7.9.3) с (7.9.4), (7.9.5), получим
M [X2] -
(7.9.8) учетом
¦^] (x\2ol + 2 V2 OxJnxX1 + ml)в X*dx)j^ jе "Wij-
Вычислим интеграл:
J х\е 1dxl»*
Ux1 = dz/yb
' 2
J У2п
(7.9.9)
(7.9.10)
Выражение в фигурных скобках равно единице, так как оно представляет собой дисперсию нормальной св. Z с параметрами M [Z] «0; D [Z] = 1.
С учетом (7.9.6), (7.9.7) и (7.9.10) получим
M[X*]=ol + m2xt (7.9.11)
откуда
D [X] »M[X2]-/^== а*,
что и требовалось доказать. Аналогично D [Y] = а8,.
Покажем, что Гху есть не что иное, как коэффициент корреляции случайных величин (X, Y):
Ъ-Д*/(ол). (7.9,12);
где — ковариация (X1 У). По формуле (7.6.10)
OO
KXV~IJ (*- тх) (у- ту) f (х, у) dx dy, (7,9.13)
234 ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Деля ковариацию на охау, получим коэффициент корреляции величин X и У, который равен гху, что и требовалось доказать,
Таким образом, закон двумерного нормального распределения полностью определяется заданием его числовых характеристик, что очень удобно в практических применениях. Действительно, для того чтобы записать (пусть приближенно) совместную плотпость /(#, у) двух нормально распределенных случайных величин (X, У), достаточно определить из опыта приближенные значения числовых характеристик системы (X, Y) (как это делается, подробно рассказывается в гл. 11).
Условные законы распределения св. X и У найдем по формуле (7.5.19):
_і_ \ і Iх-тх у-пУу\
1
ехр
>ху
(7.9.14)
Нетрудно убедиться, что каждый из условных законов распределения является тоже нормальным с условным математическим ожиданием и условной дисперсией, определяемыми по формулам:
mx\y *=тх + гхуох {у — ту)/оу; Dxw = ol (l — rly), Щ\х = гоу + гхуау (х — тх)/ох\ Dv\x = о2у (1 — rly).
(7.9.15)
Примспяя замепу переменных (7.9.3) с учетом (7.9.6), (7.9.7) и (7.9.10), получим:
2<Vy Vі - Г1у ( f -** \ / f _ 2 \
ш,---1 J ххе 1^1II J УіЄ УЫУ1\ +
7.9. двумерное нормальное распределение 235
Из формулы (7.9.15) видпо, что для системы нормально распределенных с. в. А7 и У линии регрессии тх1у и ту{х представляют собой прямые линии, т. е. регрессия для нормально распределениой системы (X, Y) всегда линейна.
