Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


Пример 3. Выпуск предприятием продукции У может бы!ъ приближенно определен по «производственной функции» вида
У = ^1Xi + U2X21
где di, d2 — не случайные параметры, с. в. Х{ — трудовые ресурсы, св. X2 — основные фонды; св. X1 распределена равномерно в интервале (а, Ь); с в. X2 распределена равномерно на участке 2Д, центр которого равен сХі. Найти математическое ожидание с в. У. Решение. По условию примера
/і «1/(6-a) (S1S (в, 6)); U (х21 X1) = ~ (х2 є= (Cx1 — A; Cx1 + А)).
По формуле (8.1.19) найдем условное математическое ожидание с. в. Y при условии, что с в. X1 = X1:
сх л+л
M [У IX1I- J -(^ + CdJs1.
Cx1-a
8.2 ТЕОРЕМЫ O ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ 267
По формуле (8.1.20) найдем
ь ь
С dx. Cid, +Cd0) x^dxл
а а
e(dl + deC)*+?. >
8.2. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин
Во многих задачах инженерной практики числовые характеристики с. в. F = Cp(X1, Xn) могут быть определены как некоторые функции числовых характеристик системы с. в. (X1, Xn). В этом случае не требуется знать закон распределения системы аргументов j{xu ...
Xn), а достаточно зпать лишь числовые характеристики этой системы.
В данном пункте мы докажем ряд теорем о числовых характеристиках функций с. в., которые могут быть использованы в инженерных приложениях.
Некоторые из них были уже доказаны ранее (см. п. 4.2), здесь мы их повторим для полноты.
1. Математическое ожидание неслучайной величины с равно с:
MIc]=C (8.2.1)
2. Дисперсия неслучайной величины с равна нулю:
D [с] - 0. (8.2.2)
3. Математическое ожидание произведения неслучай* ной величины с на с. в. X равно произведению этой неслучайной величины на м. о. с. в. X:
M IcX] = сМ [X], (8.2.3)
т. е. неслучайную величину с можно выносить за знак математического ожидания.
4. Дисперсия произведения неслучайной величины с на с. е. X равна произведению квадрата этой неслучайной величины на дисперсию с. в. X:
D [с X] = c2D [XJ; (8.2.4)
D [сХ] = M [{сХ - M [cX]f] = M [{сХ - сМ [X])2] =
= M [с2(X - M [X])2] = с2М [(X - M [X])2] = C2^D [X]1
268
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
т, е. неслучайную величину можно выносить из-под знака дисперсии, возведя ее в квадрат.
Извлекая квадратный корень из (8.2.4) и беря его арифметическое (положительное) значение, получим
0[CXJ-IcIo[X]1 (8.2.5)
т. е. неслучайную величину можно выносить из-под знака среднего квадратичного отклонения ее абсолютным значением.
5. Теперь мы докажем одну из важнейших теорем теории вероятностей: теорему сложения математических ожиданий. Сначала докажем ее для двух случайных величин X1 и X2:
M [X1+ X1J-M[X1]+ M [X1], (8.2.6)
т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Начнем со случая непрерывной системы с. в. (Xi, X2) с плотностью /(#!, X2) (это проще по записи, чем случай дискретных). Сумма X1 + X2 есть функция случайных величин X1, X2; согласно (8.1.14) ее м. о. равно:
OO
M [X1 + X2] - J j (X1 + X2) f (X1x X2) Ux1Ux2 =
— 00
00 OO
e 11XJ(*i> dxidx2 +11?/ хъ) dxxdx2. (8.2.7)
— С» —OO
Но первый из двойных интегралов в правой части (8.2.7) есть не что иное, как M[X1], второй — M [X2], и теорема (8.2.6) доказана.
В случае двух дискретных случайных величин, заменяя в (8.2.7) двойные интегралы — двойными суммами, по і и по ;, непрерывные аргументы хи хг — отдельными значениями ^10, tf(2;), а элемент вероятности f(xh x2)dxidx2 — вероятностью P {X1 = х(*\ X2 = х{Щ и применяя почленно суммирование, докажем ту же теорему. Предлагаем читателю проделать это самостоятельно *).
Специально подчеркнем, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных
*) Молено доказать, что теорема сложения математических ожиданий справедлива и для смешанных случайных величин,
8.2. ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ
269
величин: зависимых и независимых, коррелированных и некоррелированных.
Применяя метод математической индукции (переход от п к п+ I)1 нетрудно доказать, что теорема сложения математических ожиданий справедлива и для суммы любого (счетного) числа случайных величин:
м I ?х*
= 2M[xf],
(8.2.8)
т. е. математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Иначе говоря, знак суммы 2 и знак математического ожидания M можно менять местами.
6. Математическое ожидание линейной функции с. в. Xi1 ..., Xn равно той же линейной функции от математических ожиданий этих с. в.:
M
а0 + 2 ai%i
а0+ ^a1M[Xi]1 (8.2.9)
г=1
где а{ (/ = 0, 1, дг) неслучайные величины.
Доказательство. Применяя последовательно формулы (8.2.6), (8.2.3) и (8.2.1), получим:
M
A0 + 2 ЯіХі L i=l J
M [а0] + M
i=i J
= «о + S M ^1X1] - а0 + 2 aiM [Xi].
і-1 і=1
Эта теорема также справедлива для любых с. в.— как зависимых, так и независимых.
7. Дисперсия суммы с. в. равна сумме всех элементов ковариационной матрицы \\К{-Л этих с. в.:



