Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
где /(.Ti, ..., Xn) — нормальная плотность распределения системы случайных величин (X1, X2, Хл), определяемая по формуле (7.10.1); /t.....h{xia хк)— нормальная
плотность распределения подсистемы случайных величин (X1, X2, Хь), определяемая по формуле (7.10.8). Нетрудно доказать (мы этого делать не будем), что условный закон распределения (7.10.9) будет тоже нормальным.
В инженерных приложениях чаще всего имеют дело с условным законом распределения случайной величины Xi, вычисленным при условии, что остальпые случайные величины, входящие в систему, приняли определенные значения: X1 = X1; ...; X^1 =#*-«.; Х1+1 = :г<+1; ...; Xn = = .т„. Этот условный закон будет нормальным с характеристиками
п
mx$i " т* — ? к(іТг) — щУЬи" (і = 1, 2, ..., л),
Hi
(7.10.10)*) (і = 1, ...,дг).
(7.10.11)
Условное математическое ожидапие тх.\Х{ представляет СОбоЙ ЛИНеЙНуЮ фуНКЦИЮ (/г—1) переменных Xj
(7 = 1, 2, п; J=^i)1 поэтому поверхность регрессии Х< на хи огі-і, Xi+U представляет собой гиперпло-
скость в л-мерном пространстве.
*) Введенное для сокращения обозначение т эквивалент-
хі\хі
но 8ышси ITlx^1.....»j-11j4+1.....*„¦
*» D*l\*i fr(-D
7.10. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
247
Условная плотность распределения с. в. Х<, при условии, что X1 = Z1, ..., Хі-і —Xi-I1 xi+i~xi+l1 ..., xn = Xn1 равна
f*i\xi.....1.....*п 3=3
D
(7Л0.12)
Вероятность попадания случайной точки (X1, X2, ... ..., Xn) в произвольную область d я-мерного пространства будет определяться по формуле (7.8.10). В случае, если нормально распределенные с. в. независимы, а область d представляет собой п-мерный прямоугольный параллелепипед Rn со сторонами, параллельными координатным осям, то вероятность попадания случайной точки (X1, X2, xn) в эту область выражается через функцию Лапласа:
Рис. 7.10.1
P «х„ *...... Xn) ^ «4- П [ф (Ц=) - «•(^)].
(7.10.13)
где аі} ?< — координаты границ прямоугольного параллелепипеда Rn в направлении оси 0xt (а, < ?<); m<, о< — м. о. и с. к. о. случайной величины Х<, Ф(я) —функция Лапласа. Для п = 3 область A3 показана на рис. 7.10.1.
Если нормально распределенные с. в. независимы (не-корродированы) и при этом m< = 0 (Sв1, 2, и), то их п. р. может быть записана в таком виде:
/ (^It • * •i Xn) ¦¦¦
<2я)»/*д а, f«l
ехр
(7.10.14)
которая называется канонической (простейшей) формой нормального закона системы п св. (X1, Xn).
Найдем вероятность Pn попадания случайной точки J(X1, Xn) в n-мерной гиперэллипсоид равной плотно-
248 гл, 7, системы случайных величин
Рис. 7.10.2 Рис. 7.10.3
При и = 3 получим уравнение эллипсоида, равной плотности Вк в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве трех измерений
Центр этого эллипсоида находится в начале координат, его полуоси равны at = о4&; аг = о2&; а> = o8ft (рис. 7.10.3).
Найдем вероятность попадания случайной точки J(X1, X2, X3), распределенной нормально с параметрами Jn1 = Tn2 = Tn3 = 0; O1, о2, O3, в эллипсоид равной плотности Вк по формуле: P,-?{(XuXtxX,)eBk}-
сти Bkl уравнение которого можно получить из условия:
.... Xn) = const,
откуда
При п =2 получаем уравнение эллипса равной плотности в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости XiQx1 (рис 7.10.2):
(#¦(?)*-*
Центр этого эллипса находится в начале координат, его полуоси равны: O1 = кои а2 = Aa2. Вероятность Р% =
P {(X1, X2) eBh) попадания случайной точки (X1, X2) в такой эллипс была найдена в п. 7.9.
7.І0. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 249
В этом интеграле перейдем от декартовых координат xt1 X21 X3 к полярным г, фі, ф2:
хі = т(Чі, ф2)У2аі (t = l, 2, 3), (7.10.16)
где
(7.10.17)
vi (Фі» Фг) = cos Фіcos Фг' v2 (Фі> Фа) = cos Ф^п ф2; V3 (ф1? ф2) = sin фх.
Этим преобразованием координат эллипсоид Bh превращается в сферу С с радиусом к/1/2 (к = а(/о{\ t== = 1, 2, 3). В дальнейшем мы увидим, что конкретный вид функций V1 (фі, ф2) = 2, 3) нам не потребуется. Якобиан преобразования равен
Ox1 дг
дх1 W1
дхх
дх2 дг
д*2
дх2
дч>2
'V2^bT1
dv
дг
0(P1
V^3
г- 9V3
= ^(/2)4^3^1» ф2), (7.10.18)
где де'(фі, ф2) — некоторая функция углов поворота; в нашем случае и?(фі, ф2) = созф1. Следовательно,
hlYl -fa
г2 (VS)3Q1W
(У2)3(У^)8 ^a2O3
">(фи ф2) ^rJq)1Ol(P2
f e-rV2dr X J J u> (фх, ф2) d^dtfJi Уя)\ (7.10.19)
о (Оф)
где о, —область изменения углов ф4 и фг. Введем обозначение
Ьз = 11 »(Фі. Фг) *Pi<V( /")\ (7.10,20) (Dv)
250 гл. 7. системы случайных величин
Следовательно,
P3 = U3 J i*e-r%dr§
При неограниченном увеличении эллипсоида равной плотности (к-+оо) P8 = I, откуда (см. (6.4.2) и (6.4.5))
(7.10.2t)
где Г (я)'— гамма-функция. Этот прием позволил нам вычислить интеграл (7.10.20), чем мы воспользуемся в дальнейшем.
Таким образом,
h/Y* h
r*e~r dr =
^ = V
4 (V -<»/:» rfl _
