Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


= P2JPu2» 0,2222;
Pv4\u2 = P2JPu2« 0,7778; P^3« 0,0367; & 0,5138;
Pvb\u3«0,4495; P^4 «0,2222; p^|u4«0,7778; PrJu6=I.
Предлагаем читателю самостоятельно найти все отличные от нуля условные вероятности pUi\vj и сравнить
7 5. ЗАВИСИМЫЕ ii НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 203
с нижеперечисленными:
P^1 = I; /^«0,3913; pU4|U2«0,6087; /^«0^037; PuJv0 «0,6453; ри ]v « 0,2510; «0,3913;
/^4« 0,6087; pU3|Vji = 1. >
Теорема умножения плотностей. Рассмотрим систему двух зависимых непрерывных с. в. (X1 Y) и докажем, что их совместная плотность равна произведению плотности одной из них на условную плотность другой при заданном значении первой:
/(*, j,)-/,(X)U(У U) (7.5.16)
или, что равпосилыю,
/(*, = (7.5.17)
где f2(y 1 условная плотность случайной величины Y при условии, что св. X приняла значение х\ fi(x\y)~-аналогично.
Это правило называется теоремой умножения плотностей; в схеме непрерывных случайных величин она аналогична правилу умножения вероятностей в схеме событий и может быть из него выведена. у
Рассмотрим элемент вероят- У+иу ности f(x, y)dxdy, приближен- У
но (с точностью до бескоиеч- Q
но малых высших порядков) равный вероятности попадания Рис 7.5.6
случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник dRxy со сторонами dx и dy, примыкающий к точке (#, у) (рис 7.5.6). Попадание точки (X, Y) в него представим как произведение двух событий:
A1 = [X^(X1 X +dz)); A2 = (Y ^(у, y + dy)},
откуда, по правилу умножения, элемент вероятности равен:
J(X1 у)dxdy = P(A1)^(A2] A1) =
= Р(Хе X + dx)} P [Y (=(у + ау)\Хе=(х + dx)}.
(7.5.18)
X
X x + dx
204
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Теперь устремим к нулю dx и dy; в пределе условие Х<=(х, x + dx) в формуле (7.5.18) превратится к X = х; формула (7.5.18) примет вид:
/(*, y)dxdy = fl(x)dx-fi{y I *)dy,
откуда, деля обе части па dxdy^Q, получим формулу (7.5.16) (формула (7.5.17) выводится аналогично).
Из (7.5.16) и (7.5.17) вытекают формулы, выражающие условные плотности распределения:
U(V \ X) = J(X, y)/U{x); U{x\y)-f[xty)/ft(y), (7.5.19)
т. е. чтобы получить условную плотность распределения одной из св., входящих в систему, надо разделить совместную плотность на плотность распределения другой св.
Учитывая формулы (7.4.10), выражающие плотности распределения одной из с. в., входящих в систему, через совместную плотность, можно записать формулы (7.5.19) в виде:
/а(И*)в/(*. у)/j f(^y)dy;
'Г: (7.5.20)
У) j f(^y)dx.
I -оо
Формулы (7.5.19), (7.5.20) выражают условные плотности через совместную плотность /(.г, у).
Условные плотности распределения іг(у\х), І\(х\у) обладают свойствами обычных плотностей:
OO
(7.5.21)
Шу)>0; Jz1(Xl(Z)Ar=I.
— 00
Из формул (7.5.20) для условных плотностей распределения вытекает их полезная геометрическая интерпретация, а именно: кривая условной плотности fi{x\y) подобна сечению поверхности распределения плоскостью, параллельной координатной плоскости /0#, отсекающей на оси Oy отрезок у (рис 7.5.7), и получается из нее
7.5. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 205
делением всех ординат на площадь данного сечения. (На рис. 7.5.7 величина а, — коэффициент пропорциональности.)
Пример 4. Время безотказной работы Tx электронного устройства (ЭУ) распределено по показательному закону с параметром к>
> 0; вреі\ія восстановления ЭУ после его отказа T2 также подчинено показательному закону, но его параметр р, пропорционален времени безотказной работы ЭУ: \jL = atx (а>0).
Найти совместную п. р. системы св. (Ti9 T1), а также п.р. св. Г, и T2 и их характеристики. Решение. По условию
/і('і)-*в~х'1 (<і>0);
-Хв-*'«а*1в-в'1'« (*1>0;
*8>0).
По формуле (7.4.10) находим
OO OO
Рис. 7.5.7
(x + «д»
(*2>0).
Можно убедиться в том, что п. р. с. в. T2 обладает все-
OO
ми необходимыми свойствами:
О
Следовательно,
/а (*а I *i) = /Єї. Wi Ci) = ^1*"*1'1 («і. '2 > 0), /і(*іІ*а)-/('і. «і)//а(«.)-
- (X + a*8J" «^+0'«)'! (*lf *2 >0).
Отметим, что условная п. р. с в. Г, при фиксированном значении T2 = t% является законом Эрланга 2-го порядка с параметром (К + at2).
2оа
ГЛ 7 СИСТЕМА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Найдем числовые характеристики с. в. Ti и Т2\
OO
M [T1] - J Xf1«-«! Л = i-; D If1] - 1Д2;
м. о. и дисперсия с. в. T2 не существуют, так как соответствующие интегралы расходятся. >
На практике нам далеко не всегда бывает известна совместная плотность распределения f(x, у) системы двух св.; может возникнуть необходимость непосред-ственнного определения условной плотности по результатам опытов. Сразу же оговоримся, что для этого экспериментальный материал должен быть достаточно обширным (порядка уже не сотен, а тысяч опытов). Покажем на конкретном примере, как это можно выполнить.
Пусть случайная величина X — рост наугад взятого человека, У —его вес. Ясно, что случайные величины X и Y зависимы; в среднем более высокие люди имеют и больший вес, хотя в конкретных случаях от этого правила могут быть и отступления. Предположим, что мы хотим приближенно найти по опытным данным условную плотность распределения /2(і/І180), т. е. плотность распределения веса человека, имеющего рост 180 (см). Как это сделать?



