Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
3.3. Функция распределения дискретной случайной величины. Индикатор события
Зная ряд распределения дискретной случайной величины, легко построить ее функцию распределения, и обратно.
Продемонстрируем как это делается, на примере 1 из п. 3.1. Ряд распределения св. X —числа попаданий имеет вид:
X:
0
1
2
3
0,24
0,46
0,26
0,04
FCx)
Будем задаваться различными значениями х и находить для них F (х) — P {X < х).
7) Пусть X < 0; так как число попаданий отрицательным быть не может, то для любого X < 0 (включая 0) F(x)=0.
2) Пусть 0 < X < 1 (например, х = 1/2); F (х) — « р {X «0) = 0,24.
3) Пусть 1<х<2 (например, х = 1,75): F(x) — « P {Х< х) = P {X = 0} + P {X = 1} = 0,24 + 0,46 =0,70.
Очевидпо, что и F(2) — 0,70.
4) Пусть 2<s<3; - P {X = 0} + P {X = 1} + + P {X = 2} = 0,24 + 0,46 + + 0,26 = 0,96.
5) Пусть *>3; F(X) « = P(X=O} + P(X = I} +
+ P(X = 2}+ P(X = 3) = 1.
Изобразим функцию F (х) на графике (рис. 3.3.1). Функция F(x) показана жирной линией; жирными точками отмечены значения F(x) в точках разрыва (функция F (х) при подходе к точке разрыва слева сохраняет свое значение; про такую функцию говорят, что она «непрерывна слева»).
Мы видим, что в нашем примере функция распределения имеет четыре скачка; эти скачки происходят в
8.3. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 93
точках, отвечающих четырем возможным значениям с. в., и по величине равны вероятностям этих значений. Между скачками функция F (х) сохраняет постоянное значение.
Эти особенности характерны не только для нашего примера, но имеют и более общее значение, а именно: функция распределения любой дискретной случайной вел и-
F(X)
1
т
2/6
JWi t
і/в
2 J b Рис. 3.3.2
I I I і I J_I_L
6 X
чины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям
этих значений. Сумма всех скачков функции F(x) равна единице.
Пример 1. Дискретная св. X —число очков, выпавших при бросании игральной кости. Построить ее функцию распределения.
Решение. Ряд распределения св. X имеет вид:
X
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Функция распределения F(x) имеет в скачков, равных по величине 1/6 (рис 3.3.2). >
Таким образом, зная ряд распределения дискретной с. в. X9 легко построить ее функцию распределения, и наоборот: если задана функция распределения со скачками pi, pi, • ..,/><,..рп в точках Xi9 х%9 • • •t Xi9 •.., я«,
п
причем 2 Pi ш 1> то ряд распределения имеет вид:
І-1
X :
х1
*2
...
*i
...
Pl
е»
...
Pi
. • «
Pn
Введем новое важное понятие индикатор события; оно очень пригодится нам в дальнейшем.
Индикатором события А называется случайная величина U9 равная единице, если в результате опыта
94 ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
U
II, если А произошло, (О, если А не произошло.
Ряд распределения с. в. U имеет вид:
U
0
1
1-р
P
Где р _ вероятность события А в данном опыте.
Многоугольник распределения св. U имеет вид, показанный на рис. 3.3.3.
F(x) ,
1-Р* Ч
1-Р
Рис. 3.3.3
О 1
Рис. 3.3.4
X
Функция распределения индикатора события А имеет два скачка: равный (1— р) в точке 0 и равный р в точке 1 (рис. 3.3.4).
В дальнейшем мы убедимся, как пользование индикаторами событий упрощает решение многих задач теории вероятностей.
3.4. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения
Рассмотрим дискретную случайную величину X, имеющую очень много возможных значений, расположенных очень близко друг к другу на числовой оси, и построим ее функцию распределения (рис 3.4.1). По мере увеличения числа возможных значений и уменьшения интервалов между ними число скачков становится все больше, а сами скачки — все меньше. Ступенчатая линия приближается к плавной, непрерывной (см. пунктирную линию на рис. 3.4.1). Естественной идеализацией такого положения является случай, когда функция F(x) непрерывна.
событие А произошло, и нулю — если не произошло:
(3.3.1)
3.4. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
95
Условимся называть случайную величину X непрерывной, если ее функция распределения не только непрерывна в любой точке, но и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек, где она терпит излом (рис. 3.4.2)*).
F(x)
F(X)
J7
X
Рис. 3.4.1
Рис. 3.4.2
Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю:
p {X = а} = 0 для любого а.
Таким образом, для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между ее значениями: каждое из них Ихмеет пулевую вероятность. И все же в каком-то смысле среди значений непрерывной с. в. есть «более и менее вероятпые». Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что зпачепие случайной величины Г— рост наугад взятого человека 170 см — более вероятно, чем 220 см, хотя и то и другое значение могут встретиться на практике.
