Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
7Ґ/2
Рис. 3.4.12
X па участок от 0 до л/4; 4) пайти и построить функцию
распределения F(x) с в. X.
Решение. 1) Определим коэффициент а из свойство Л/2
ва (3.4.6) плотности: J /{х)dx= J a cosхdx = 2а — 1 >
— оо —Л/2
отсюда а = 1/2.
2) Кривая распределения показана па рис. 3.4.11.
3) По формуле (3.4.3)
я/4
p[o<X<JL}_ j ?l«?dx=^.
о
4) По формуле (3.4.4) находим ф. р.
0 при я< — я/2; F (х) — ¦ (sin я + 1)/2 при — я/2 < X < я/2;
1 при x>nj2%
График ф. р. дап па рис. 3.4.12. >
3.4. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
103
Пример 4. Плотность распределения с. в. X задана формулой:
1) Построить кривую распределения; 2) найти вероятность того, что с. в. X попадет на участок (—1, +1).
f(X)
fix)
-4-3-2-1 0 1 2 3 Рис. 3.4.13
4 т.
Рис. 3.4.14
Решение. 1) Кривая распределения дана на рис. 3.4.13.
2) р{- КХ< 1} - Jdx/[n(i + X*)] --і
--i-arctgxl^-1/2
(соответствующая площадь на рис. 3.4.13 заштрихована). >
Пример 5. Вероятность события А зависит от случайной величины Х} распределенной с постоянной плотностью /(я) = 1 на участке от 0 до 1 (рис. 3.4.14):
f(x)=l при 0<я<1. Условная вероятность события А при X = х равна Р{А\х) = х* (0<х<1).
Найти полную вероятность события Л. Решение. По интегральной формуле полной вероятности (3.4.7)
і
р(Л)» j x2f(x)dx = J^da: = -y-
3 •
*) Так называемый закон Копій в простейшей (канонической) форме,
104
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пример 6. Линейный размер изделия L есть непрерывная случайная величина с плотностью j(x) (рис. 3.4.15). При контроле бракуются все изделия, линейные размеры которых выходят за пределы интервала
(z1, z2). Найти условную
f(x),fA(x)
Рис. 3.4.15
плотность распределения размера V изделия, если известно, что оно при контроле не забраковано.
P е ш е н и е. По интегральной формуле Бейеса (3.4.9)
fA(x) = Hx)P(A\x)/P(A).
В результате опыта наблюдено событие
А = {изделие не забраковано) = {z1 < L < z2),
p (Л) = j/(x)dx.
Эта вероятность равна площади, заштрихованной на рис. 3.4.15.
При? = х</, Р{А\х) = 0. При L = X^(Z1, I2) Р(А\х) = 1. При L = x>Z2 Р(А\х) = 0.
Условная плотность /а(х) при условии, что появилось событие А вне участка (I1, Z2) равна нулю, а в пределах этого участка равна
ZaW = f (X)IP (Л) = / {х)
$f(*)dx]
U J
(на рис. 3.4.15 условная плотность /А (х) показана жирной линией; внутри интервала (z1, z2) ее ординаты пропорциональны ординатам /(#)). >
3.5. Смешанная случайная величина
Помимо дискретных случайных величин, имеющих конечное или счетное множество возможных значений, и непрерывных случайных величин, функция распределения которых непрерывна, существуют (и на практике
3 5. СМЕШАННАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
105
F(X)
довольно часто встречаются) случайные величины, которые называются смешанными. Это как бы промежуточная разновидность между дискретными и непрерывными случайными величинами.
Случайная величина X называется смешанной, если ее функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы (скачки)—см. рис. 3.5.1. На участках, где F(x) непрерывна, вероятность каждого отдельного значения равна нулю; вероятности тех значений, где функция F (х) совершает скачки, отличны от нуля и равны каждая величине соответствующего скачка. Кроме того, ф. р. F(x) смешанной с в. X должна быть дифференцируема всюду, кроме отдельных точек, где она либо Рис. 3.5.1 терпит излом, либо имеет скачок.
Общая формула (3.2.2) для вероятности попадания на участок [а, ?)
p{a<X<?}-F(?)-F(a)
справедлива и для смешанных случайных величин. Как и для дискретных случайных величин, функция F(x) непрерывна слева (жирные точки на рис. 3.5.1).
Приведем ряд примеров смешанных случайных величин.
Пример 1. Поезд должен прибыть на станцию по расписанию, но иногда, по случайным причинам, задерживается (прибытие раньше _ назначенного срока исключено). Случайная величина Г — время опоздания поезда — представляет собой смешанную случайную величину. В начале координат ее функция распреде-
- ления F(t) имеет скачок, вели-
* чина которого равна вероятно-Рис. 3.5.2 сти того, что поезд не опоздает
Ро = р{Г-0} (рис. 3.5.2). > Пример 2. Некоторый прибор испытывается в течение ограниченного времени т. Случайная величина T — время безотказной работы прибора. В случае, если прибор некондиционен, он отказывает мгновенно в момент
Pd
Fd)
106
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
включения (вероятность этого P {T = 0} = P0). Может оказаться, что прибор проработает безотказно все время испытания т; вероятность этого P {T = т} = рх. Функция распределения F(t) случайной величины T имеет два скачка: в точках J=O и J = T (рис 3.5.3). >
Пример 3. Заработок рабочего Z в течение месяца зависит от его выработки V; величина V случайна (будем считать ее непрерывной) и имеет функцию распределения Fv(x). Заработок рабочего вообще пропорционален его выработке: Z = aV, но не может быть меньше гарантированного Z1 и максимального Z2.
