Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1 = ^1/1 + •?• + ?>//?• (1)
Эта теорема — частный случай теоремы Гильберта о корнях, утверждающей следующее:
Если / — многочлен из К [хХ) ..., х„], обращающийся в нуль во всех общих корнях многочленов \\, ..., />, принадлежащих пространству Ап (й), то
/?=/11/1 + ... + йЛ (2)
для некоторого натурального числа ц.
§ і ЗО]
Теорема гильберта о корнях
469
Доказательство. С помощью остроумного приема Рабиновича (Math. Ann., 102, S. 518) общий случай сводится к доказанному выше частному случаю. Для / = 0 утверждение очевидно. В случае 0 добавим одну новую переменную г. Многочлены
h, ..., fn 1 - zf
не имеют общих корней в Л„41(й), поэтому согласно доказанной выше теореме
1 =g'i/i + ? • • + gv//-+ g ? (1 — zf)- (3)
Сделаем в этом тождестве подстановку z = l/f и умножим получившуюся дробь на подходящую степень /С Тогда получится равенство
f4 = h i/i +.. • + hrfn
которое и требовалось установить.
Обобщение теоремы о корнях. Если многочлены ри ... ..., ps обращаются в нуль во всех общих корнях многочленов Д, ... ..., fn то существует такое натуральное число q, что все произведения из q сомножителей, составленные только из многочленов pt, принадлежат идеалу (/у, ..., fr) (и наоборот). Доказательство. Имеют место сравнения
= о •••• fr)-
Положим
Q = (<7i— 1) + (?2 — 1) + • • ? + (<]s — 1) + 1 •
Тогда каждое произведение р\1 ... phss, в котором Нг-\-... + hs = q, содержит по меньшей мере один сомножитель pqp, так как иначе число Нг -f-... + hs было бы равно самое большее числу
(Qi — 1 ) + ••• + (<Д — 1) — Я~ 1 ?
Отсюда следует утверждение. Обратное очевидно.
В качестве приложения доказанной только что теоремы мы получим условия, гарантирующие наличие общего нетривиального (отличного от (0, ..., 0)) корня в поле О у системы форм, т. е. нескольких однородных многочленов Fu ..., Fr.
Если (0, ..., 0) — единственный корень, то все одночлены хъ хп обращаются в нуль во всех корнях идеала (Flt ..., Fr), а потому каждое произведение Х}, состоящее из q сомножителей, выбранных из элементов х1} ..., хп, принадлежит идеалу:
X, = G/1F1 -f-... + G,rFr. (4)
Пусть степени форм Fu ..., Fr равны соответственно^, ... ..., gy. Чтобы справа в (4) содержались лишь члены степени q, нужно в Gj, оставить слагаемые степени q — g„ а остальные слагаемые опустить. Тогда вместо Gtl получится форма Я/( степени
470
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
Я — Ц1- Сравнение членов степени <7 слева и справа в (4) дает равенство
Х^ВД + .-. + ВД. (5)
Обратно, если равенства типа (5) имеют место для всех произведений X), состоящих из <7 сомножителей, то (0, ..., 0) является единственным общим корнем многочленов /7, ..., /7.
Произведения из элементов х) степени q — gi обозначим через Хи-Формы Н]1 в (5) являются линейными комбинациями этих произведений (с коэффициентами из К). Следовательно, (5) утверждает, что все произведения X] степени <7 выражаются линейно через произведения Х^/7;. Мы получили следующий результат:
Необходимым и достаточным условием для того, чтобы многочлены /7, ..., /7 имели единственный общий корень (0, ..., 0), является следующее: все произведения Ху достаточно высокой степени <7 линейно выражаются через произведения Х^/7* с коэффициентами из К.
Если Ид — число произведений Ху степени <7, составленных из данных элементов, то этот результат можно сформулировать и так:
Для того чтобы формы /7, ..., /7 имели нетривиальный общий корень, необходимо и достаточно, чтобы для каждого <7 = 1, 2, ... число линейно независимых произведений ХШР{ было меньше, чем Нд.
Если выразить произведения Х*гЕ( в виде линейных комбинаций произведений Х{.
Х^,/д ? п^/уХу,
/'
то из коэффициентов ащ при каждом к и каждом ? можно составить вектор-строку
(аЫъ ..., а/щу) (Л/ = Nд)-
Высказанное условие означает тогда, что среди этих векторов-строк имеется менее N линейно независимых. Это означает, что все определители из любых таких N векторов-строк равны нулю. Если Ьдк — эти определители, то получается следующее утверждение:
Для того чтобы /7, ..., /7 обладали нетривиальным общим корнем, необходимо и достаточно выполнение равенств
О,л = 0 (<7 = 1, 2, ...). (6)
Элементы аЫ! являются коэффициентами форм /7. Следовательно, ?>9Л являются целочисленными формами от коэффициентов форм /7, ..., /7.
Рассмотрим сначала /7, ..., /7 как общие формы степеней g1, ..., gr, т. е. как формы с неопределенными коэффициентами ар,
§ 131]
ПРИМЛРНЫЕ ИДЕАЛЫ
471
тогда существует бесконечно много многочленов Dqh (?;) от этих коэффициентов. Однако, по теореме Гильберта о базисе, существует конечное множество среди всех этих многочленов, через которое все указанные многочлены выражаются линейно (с целочисленными многочленами в качестве коэффициентов). Если (для конкретных форм Ръ ..., Fr) многочлены Dqh из этого конечного множества равны нулю, то и все многочлены системы равны нулю и выполняются равенства (6). Таким образом, существует конечное число целочисленных форм от ар
Rt(aj), ..., Rm(aj),
которые обращаются в нуль тогда и только тогда, когда формы Fu ..., Fr имеют общий нетривиальный корень.
