Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1. С помощью метода сведения к нульмерным идеалам доказать, что каждый (п—1)-мерный примерный идеал в К [хг, ... , хп\ является главным.
Задача 2. Каждый несмешанный (п—1)-мерный идеал в К [хх, ..., х„] является главным и наоборот,
Глава семнадцатая
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Развитие теории идеалов имеет с исторической точки зрения два источника: теорию алгебраических чисел и теорию идеалов в кольцах многочленов. Обе эти теории, однако, возникли из совершенно различных по своей постановке задач. В то время как основной задачей теории идеалов в кольцах многочленов является определение корней и установление необходимых и достаточных условий для принадлежности некоторого многочлена заданному идеалу, в теории целых алгебраических чисел исходным является вопрос о разложении на множители. К этому вопросу можно прийти, например, в следующих рассмотрениях.
В кольце чисел а-\-ЬУ — 5, где а и Ь — целые рациональные числа, не имеет места теорема об однозначности разложения элементов на множители. Например, число 9 обладает двумя существенно различными разложениями на простыех) множители:
9 = 3-3 = {2 + У^Ъ) (2-1/^5).
Это обстоятельство побудило Дедекинда расширить область рассматриваемых элементов до области идеалов (так им впервые были названы эти объекты; Дедекинд следовал за Куммером, который добился однозначности разложения на простые множители в полях деления круга с помощью введения некоторых «идеальных чисел»). Ему удалось показать, что в этой области каждый идеал равен однозначно определенному произведению простых идеалов. Действительно, если в указанном выше примере ввести простые идеалы
у1 = (3, 2 + У=5), у2 = (3, 2-У~о),
Числа 3 и 2 щ V — 5 неразложимы: это следует, из того, что их норма (ср. ? 47) равна 9. Б.сли бы они были разложимы, то либо оба сомножителя имели бы норму ± 3, либо один из них норму ± 1. Но чисел вида а -(- 6 У—5 с нормой ± 3 не существует, так как иначе было бы
а2 + 562 = ± 3,
что в области целых чисел невозможно. Числом же с нормой ± 1 обязательно является один из обратимых элементов ± 1, так как
а2 + 5 62 = ± 1
может выполняться лишь при а = + 1, 6 = 0.
482
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
то, как легко подсчитать,
(3) = м>2; (2 + К^5) = И; (2-У^5) = М,
откуда для главного идеала (9) получается (единственное) разложение
(9) = *№-
В этой главе будет изложена классическая (дедекиндова) теория идеалов целых элементов в модернизованной аксиоматической форме, предложенной Э. Нётер 1).
§ 134. Конечные 91-модули
Мы рассматриваем здесь модули над некоторым (не обязательно коммутативным) кольцом 91, т. е. модули, для которых кольцо 91 является областью левых мультипликаторов. В большинстве рассматриваемых случаев модули содержатся либо в 91 (и, таким образом, являются левыми идеалами в 91), либо в некотором кольце @, содержащем данную область мультипликаторов 91.
Под конечным Ш-модулем подразумевается такой модуль ЭЛ, который порождается конечным базисом (аъ ..., ан), или, иначе, элементы которого могут быть выражены как линейные комбинации фиксированных элементов й, ан с целочисленными коэффициентами и коэффициентами из 91:
т = гуа, +... Д- г Д- п^х + п^а/,,
(г„ 91, —целые числа). (1)
В этом случае пишут 9Э1 = (а1, ..., ал).
Говорят, что для модуля ЭЛ выполнена теорема о цепях де-
лителей, если каждая цепь подмодулей ЭРт1, ЭЛ2, ... в ЭЛ, где каждый предыдущий член является собственным подмодулем следующего члена (т. е. последующий является «делителем» предыдущего):
ЭЛ, с=ЭЛ2 <=...,
обрывается после конечного числа шагов.
Теорема. Если в модуле ЭЛ выполнена теорема о цепях делителей, то каждый подмодуль в ЭЛ имеет конечный базис и
наоборот.
Эта теорема является обобщением теоремы из § 115 о базисе идеала и теоремы о цепях делителей. Доказательство в данном случае совершенно аналогично. Чтобы найти базис для произвольно выбранного подмодуля Л, нужно взять в 91 какой-нибудь элемент а,. Если (а,) = Л, то больше доказывать нечего; в про-
!) Noether E. Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-und Funktionenk?rpern,—Math, Ann,, 1926, 96, S. 26 — 61,
§ 1341
КОНЕЧНЫЕ 9І «МОДУЛИ
483
тявном случае выберем в 9? элемент а2, не принадлежащий подмодулю (ах). Если (аъ а2) = 91, то опять-таки больше доказывать нечего; в противном случае выберем следующий элемент а3 и т. д. Если известно, что цепь модулей
(ах) с (а1( а2) с= {аи а2, а3) сг ...
обрывается, то 9? обладает конечным базисом.
Обратно, если каждый подмодуль в 9)1 обладает конечным базисом и
аЛх с ЭЛ2 с:...
— цепь подмодулей в ЭЛ, то объединение 93 всех 9ЛV — тоже подмодуль, обладающий по условию конечным базисом:
93 = (ах, ...,аг).
Все ау, однако, содержатся уже в некотором ЭЛМ, участвующем в данной цепи; следовательно, 93 Е ЭЛШ, откуда 93 = 991^. Таким образом, цепь обрывается на ЭЛШ.
О том, при каких условиях в модуле ЭЛ выполняется теорема о цепях делителей, говорит следующая
Теорема. Если в кольце Л имеет место теорема о цепях делителей для левых идеалов и ЭЛ — произвольный конечный Л-модуль, то в ЭЛ имеет место теорема о цепях делителей для Л-модулей.
