Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ь = а, + № (1)
Тогда простой идеал описанного вида состоит из всех многочленов f(xL, ..., хп) со следующим свойством: ..., ап-\-
4- РлО равно нулю тождественно по t, или, выражаясь геометрически, идеал состоит из всевозможных многочленов, которые обращаются в нуль во всех точках прямых, задаваемых в л-мерном пространстве с помощью параметрического представления (1). Этот пример может служить наглядной иллюстрацией к теоремам данного и следующего параграфов.
Теорема 2. Если р обозначает построенный в теореме 1 простой идеал, то поле Л = К(?1, ..., Ы изоморфно полю частных II кольца классов вычетов кольца с по идеалу р, причем элементы
..., %п при этом изоморфизме соответствуют классам вычетов переменных хи ..., хп.
Доказательство. Пусть 2 — кольцо тех элементов из Л, которые записываются в виде многочленов от |х, ..., Тогда A = K(?lf ...,1л) является полем частных кольца S. Сопоставим каждому элементу /(|х, ..., ?„) из S класс вычетов из с/p, представляемый многочленом f{xlt ..., хп). Так как из f {%) — g(Q следует, что / — g- = 0(p) или f=g(р), и наоборот, то указанное отображение взаимно однозначно. Очевидно, что сумма переходит в сумму, а произведение — в произведение. Тем самым кольца S и сур изоморфны. Но тогда и их поля частных Л и II тоже изоморфны.
Теорема 1 утверждает, что каждая точка \ является общим корнем однозначно определенного простого идеала р. Теорема 2 утверждает, что точка g определяется идеалом р однозначно с точностью до изоморфизма. Теперь будет доказана
Теорема 3. Каждый отличный от о простой идеал обладает общим корнем g над универсальным полем П.
Доказательство. Многочленам из с мы сопоставим элементы некоторого нового множества о', которое содержит поле
§ 128]
КОРНИ ПРОСТОГО ИДЕАЛА
465
коэффициентов К, причем двум сравнимым по модулю р многочленам будет соответствовать один элемент, а двум несравнимым многочленам — два различных элемента; при этом элементы из К, по определению, будут переходить в себя. Сделать это всегда возможно, потому что в силу неравенства р Ф о два элемента из К сравнимы по модулю р только тогда, когда они равны. Элементы, соответствующие элементам лу, ..., хт обозначим через ..., \п.
Множество С взаимно однозначно отображается на кольцо классов вычетов кольца о по идеалу р. Таким образом, мы можем определить на о' сложение и умножение, которые соответствуют сложению и умножению в кольце е/р, и тогда о' окажется изоморфным котьцу классов вычетов; поэтому оно не имеет делителей нуля и для него можно построить поле частных Л.
Каждый элемент из о' соответствует по крайней мере одному многочлену / из о, а потому он может быть записан в виде /(?!, Следовательно, о' равно К [|х, ..., ?„], а А равно
К (1ц . ..,?«)• Согласно § 127 поле Л изоморфно вкладывается в универсальное поле й; поэтому можно считать, что А е й. Элемент /(1ц ..., Iп) равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен / принадлежит нулевому классу вычетов по модулю р. Следова1елыю, | является общим корнем идеала р, чем и доказывается теорема 3.
Согласно теореме 3 каждый простой идеал р Ф о в универсальном поле й обладает общим корнем Е, который в силу теоремы 2 определяется идеалом р однозначно с точностью до изоморфизма. Точка % является корнем идеала р, а потому принадлежит многообразию М этого идеала. Идеал, соответствующий многообразию М, — это снова р, потому что если многочлен / обращается в нуль во всех точках многообразия М, то, в частности / (|) = О, и поэтому / С р. Так как соответствующий идеал прост, многообразие М неприводимо. Мы получили следующую теорему:
Теорема 4. Каждый простой идеал р Ф о соответствует некоторому неприводимому многообразию корней и служит идеалом этого многообразия.
Если исходить из неприводимого многообразия М, то соответствующий ему идеал р согласно § 126 прост. Корнями идеала р являются в точности точки из М. Если | — общий корень идеала р, то ? называется общей точкой многообразия М над полем К. Таким образом:
Точка | многообразия М является общей точкой этого многообразия над полем К, если каждое равенство /(?) = 0 с коэффициентами из К, выполняющееся для ?, выполняется и для всех точек многообразия М.
Согласно теореме 3 каждое неприводимое многообразие М обладает общей точкой. Обратно, если некоторое многообразие М обладает общей точкой, то соответствующий идеал многообразия
466
ТГОРПЯ 11ДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МИ01очлкиов
[ГЛ. XVI
М согласно теореме 1 является простым, так что М неприводимо. Тем самым доказана
Теорема 5. Многообразие М обладает общей точкой над К тогда и только тогда, когда оно неприводимо над К.
Задача 1. Идеал
(ед, — хг, х2хд — хг1, хЪ — х\х2)
в кольце К [ад, х2, [а-3] является простым,'так как он имеет общий корень (Р, /4, Р).
§ 129. Размерность
Пусть I — общая точка над К некоторого неприводимого многообразия М или общий корень соответствующего простого идеала р. Если г — степень трансцендентности системы |?х,..., ?л}, то среди элементов %1 имеется ровно г алгебраически независимых, скажем, ..., \г\ остальные элементы алгебраически зависят от этих. Можно рассматривать ..., ?г просто как переменные, тогда все I,- являются алгебраическими функциями этих г переменных. Степень трансцендентности г остается неизменной, если общая точка при некотором изоморфизме поля переходит в другую общую точку таким образом, число г зависит только от идеала р; оно называется размерностью простого идеала р и многообразия М.
