Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
462
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ. XVI
Если из разложения
М = Л и /а U ... U (1)
удалить все лишние члены, то полученное разложение будет
единственным с точностью до порядка следования многообразий.
Действительно, если
M = AUAU...U^ (2)
— второе разложение, то Д содержится в объединении многообразий а потому в силу своей неприводимости — в одном из многообразий Ji, которое при подходящей нумерации можно считать многообразием Jv Точно так же А содержится в одном из 1к:
А <= А <= /*.
Если бы было , то многообразие А в (1) было бы лишним; следовательно, k = \ и А = ^г. Точно так же получается /2 = А> А = А и r = s, а этим и доказывается единственность разложения.
Те же самые теоремы имеют место и тогда, когда рассматриваются точки ?, принадлежащие лишь некоторой фиксированной части аффинного пространства Д„(й). См. Габихт (Habicht W.). Topologische Eigenschaften algebraischer Mannigfaltigkeiten.—Math. Ann., 122, S, 181.
О разложении неприводимого над К многообразия при расширении основного поля см. мою работу Ober A. Weils Neubegriindung der algebraischen Geometrie. —Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 22, S. 158.
§ 127. Универсальное поле
В классической алгебраической геометрии всегда считалось, что поле Q, которому принадлежат координаты точек ?, является полем комплексных чисел. Новейшая алгебраическая геометрия исходит, однако, из произвольного основного поля Н. Расширение Q основного поля, содержащее координаты точек ?, как показал Андре Вейль, целесообразно брать универсальным над К, т. е. считать, что, во-первых, Й алгебраически замкнуто и, во-вторых, й имеет бесконечную степень трансцендентности над К. Если задано поле Н, то такое универсальное поле можно построить, присоединив сначала к К бесконечно много переменных ии и.ъ ..., а затем взяв, в соответствии с § 72, алгебраическое замыкание.
Использование универсального поля основано на следующей теореме:
Любое расширение К (ах, ..., ап), получающееся присоединением конечного числа элементов аъ ..., ал к Н, можно изоморфно вложить в й. Это означает, что если заданы п каких-либо элементов о.х, ..., <7.„ в произвольном расширении Л поля К, то
§ 128]
КОРПИ ПРОСТОГО ИДЕ\ЛЛ
463
существует изоморфизм
к («! ап) 0^ К {а\, ..., а'п),
который оставляет элементы из К на месте, а элементы аъ ... ..., ап переводит в некоторые элементы а\, ..., а/, поля й.
До к а з а те л ь с т в о. Элементы а1У ..., ап можно перенумеровать так, чтобы аг были алгебраически независимы над
К, а остальные аг алгебраически зависели над К от аг, ..., аг. Выберем теперь а\, ..., а'г в Й алгебраически независимыми над К. Тогда существует некоторый изоморфизм
И (0?1( ..., а,)^К(а1, ..., а'г), (1)
который оставляет на месте все элементы из К, а аи ..., аг переводит в ос[, ..., аг. Если теперь г — п, то все требуемое доказано. Если же г<Сп, то а,+1 является корнем некоторого неразложимого многочлена ср(х) с коэффициентами из К (ах, ... ..., аг). Этому многочлену соответствует многочлен ф' (х) с коэффициентами из К (а!, ..., а'г), который обладает корнем а'г+1 в й. Согласно § 41 изоморфизм (1) можно продолжить до изоморфизма
К К, ..., аг11)^К(а1, ..., а'Гц), (2)
который переводит аг х в а’г11. Продолжая таким способом, мы в конце концов получим искомый изоморфизм
К (а! ап)д^Н(а'и .... а'„). (3)
§ 128. Корни простого идеала
Пусть опять й — универсальное поле над основным полем К и пусть о — кольцо многочленов К [лу ..., хп]. Если ..., В„ — элементы произвольного расширения поля К, то согласно § 127 мы всегда можем найти изоморфизм полей, который переводит Ех, ..., в элементы из й. Следовательно, для дальнейших теорем безразлично, будут ли Е1( ..., с„ элементами поля й или какого-либо другого расширения Л поля К. Если считать, что Е/ —элементы из й, то Е будет точкой аффинного пространства А„(Й).
Такая точка | называется общим корнем некоторого идеала р, если из включения /ер следует, что /(Е) = 0, и наоборот. В этом случае идеал р состоит в точности из тех многочленов /(х), для которых / (Е) = 0. Сейчас будет показано, что такой идеал р обязательно прост. Далее будет показано, что каждая точка Е является общим корнем некоторого однозначно определенного простого идеала р=^о и, наоборот, каждый простой идеал р-7^0 обладает общим корнем Е. определенным однозначно с точностью до изоморфизма.
464
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
Теорема 1. Если , \п — элементы произвольного рас-
ширения поля К, то многочлены f кольца о = Н[л:1, хп], для которых /(с) = 0, составляют отличный от о простой идеал.
Доказательство. Из f(Q = 0 и g(|) = 0 следует, что fit) —g (Е) = 0. Из / (|) = 0 следует, что f (g) h(Q = 0. Следовательно, указанные выше многочлены действительно составляют некоторый идеал.
Из /(?)&(?) = 0 и g(%)?=0 следует, что /(?) = 0, так как в поле нет делителей нуля. Следовательно, указанный идеал прост. Так как в нем нет единичного элемента, то он отличен от всего кольца о.
Пример. Пусть |1, ..., —линейные функции одной пере-
менной t с коэффициентами из поля К:
