Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что размерность простого идеала р Ф о принимает значения от 0 до п. Единичному идеалу е, у которого вообще нет корней, приписывается размерность —1.
Если |— общий корень некоторого простого идеала р, а — произвольный корень того же идеала, то каждому многочлену Ш из К [5] можно сопоставить многочлен /(?') из К [?]. Так как из / (|) = ? (I) следует, что 1{х) = ц (х) (р), а отсюда — равенство = то отображение /(Д)*—однозначно. Так как,
очевидно, сумма переходит в сумму и произведение — в произведение, то мы имеем гомоморфизм
КШ~К[1']. (1)
Если он является изоморфизмом, то, конечно, I' является общим корнем идеала р, и наоборот.
В случае нульмерного идеала р все точки ? алгебраичны над К; поэтому все рациональные функции от \ являются целыми рациональными: К?) = К[?]. Следовательно, К [?] является полем. Если в этом случае — другой корень данного идеала, то гомоморфизм (1) должен быть изоморфизмом, потому что поле не имеет гомоморфизмов, кроме взаимно однозначных и таких, которые переводят все элементы в нуль. Таким образом, имеет место следующая теорема:
§ 129]
РАЗМЕРНОСТЬ
467
В случае нульмерного простого идеала все корни являются общими, эквивалентными друг другу1).
Координаты Ек ..., \п или Еь ..., Ел являются в этом случае алгебраическими над К. Если ограничиться рассмотрением корней Е или в универсальном поле й, то эти корни окажутся сопряженными над К. Число указанных сопряженных точек с координатами из й не превосходит (а когда К(Е) сепарабельно, в точности равно) степени поля К (Е) над К. Итак:
Нульмерное неприводимое многообразие состоит из конечного числа сопряженных над К точек.
Если, в частности, поле К алгебраически замкнуто, то существует всего одна точка Е над К, а соответствующий идеал имеет вид
V " (-4 li> • • • > %п ' Ел)-
Теорема. Различные корни r-мерного простого идеала имеют степень трансцендентности, не превосходящую г, и если степень трансцендентности некоторого корня в точности равна г, то этот корень общий.
Доказательство. Пусть — корень степени трансцендентности s; рассмотрим гомоморфизм (1). Если Еь ..., Es алгебраически независимы, то алгебраически независимы и Ei> ..., действительно, каждое алгебраическое соотношение между Е является соотношением и между . Отсюда следует, что r^s-s. Если r = s, то все Е алгебраически зависят от Ei. Ъ- Пусть при гомоморфизме (1) некоторый многочлен /(Е), отличный от нуля, переходит в нуль. В поле К (Е) элемент 1// можно записать в следующем специальном виде:
1 = g(ii. ??? ? In)
fill In) h(ix, .... ls) ?
Отсюда
h(h, 1Л = ?(1ъ In) f(h, ? In)-
Но При гомоморфизме (1) / переходит В нуль, так ЧТО ft (El, ... ..., ЕЛ тоже должно переходить в нуль, т. е.
ft(Еь .... ЕЛ = о,
а это противоречит предположению об алгебраической независимости элементов El, •••, Is- Следовательно, при гомоморфизме (1) ни один отличный от нуля многочлен не переходит в нуль. Таким образом, при r = s гомоморфизм (1) является изоморфизмом. Отсюда следует утверждение О ТОМ, ЧТО Е' — общий корень.
Каждый корень Е' идеала р может рассматриваться как общий корень некоторого идеала р'. Из /е=0(р) следует, что /(Е') = 0
!) Это означает, что они переходят друг в друга при изоморфизмах, оставляющих на месте элементы из К.
468
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
или что / = 0(р'). Тем самым идеал является делителем идеала щ Обратно, каждый отличный от о простой делитель идеала ^ может быть получен таким способом, потому что каждый идеал р'#о обладает некоторым общим корнем Из сформулированной выше теоремы немедленно получается:
Каждый делитель р' идеала р имеет размерность г' ф г; если г' = г, то р' = р.
Под размерностью произвольного многообразия подразумевается наибольшая из размерностей его неприводимых составляющих. Одномерные многообразия называются кривыми, двумерные многообразия — поверхностями, (п — 1)-мерные многообразия —
гиперповерхностями.
Задача 1. Главный идеал (р), где р —неразложимый отличный от константы многочлен, является (п—1)-мерным простым идеалом.
Задача 2. Обратно: каждый (п—1)-мерный простой идеал является главным.
Задача 3. Единственным гс-мерным многообразием в ЛП(Я) является само пространство Ап (Й); соответствующий идеал является нулевым идеалом.
§ 130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для однородных уравнений
Каждый отличный от о простой идеал имеет в универсальном поле й некоторый общий корень. Таким образом, любой простой идеал без корней является единичным идеалом е.
Докажем более общее утверждение:
Каждый идеал а = (/у, ..., />) не имеющий корней в поле Й, является единичным.
Доказательство. Предположим, что существует идеал без корней. Тогда, в соответствии с принципом максимальности, существует и максимальный идеал т Ф с без корней. Являясь максимальным, этот идеал согласно § 16 является и простым. Но любой простой идеал т ф о обладает корнями.
Доказанную выше теорему можно сформулировать также следующим образом:
Если многочлены /1; ..., /> не имеют в пространстве Ап (й) общих корней, то
