Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
[р, *'1а\ р<3>,...] = (0) (5)
Доказательство. Пусть 5 — совокупность всех элементов из о, не делящихся на р. Возьмем кольцо частных о5. Пусть ЦЗ — расширение идеала р в кольце о$. Очевидно, расширением идеала будет ЦЗС Однако сужение идеала ЦЗ' на исходное кольцо равно
Пересечение всех символических степеней ро равно пересечению всех 443л с кольцом о. Согласно теореме 2 пересечение всех идеалов 543л равно нулю. Следовательно, пересечение всех р(/-) является нулевым идеалом.
1) См. задачу 9 в § 25,—Ярил. ред.
454 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ. XV
Теоремы 1 и 2 могут быть распространены на произвольные кольца рассмотренного здесь вида. Пусть 5 —множество всех элементов я=1 — а, где а пробегает идеал а. Множество 5 мультипликативно замкнуто, а потому можно определить 5-компоненту (ОД нулевого идеала как множество таких х, для которых выполняется равенство
(1 — а)х = 0 для ає а.
Имеют место следующие предложения:
Теорема 1а. Из ЬеаЬ следует, что Ь е (ОД.
Теорема 2а. Пересечение всех степеней идеала а равно (ОД. Доказательство теоремы 1а начинается точно так же, как доказательство теоремы 1, — с равенства
(1 — а) й = 0.
Из этого равенства немедленно следует утверждение: сі є (ОД для всех д. из Ь.
Половина теоремы 2а —включение
[а, а2, ...]с=(0Д
— доказывается точно так же, как теорема 2. Вторую половину — включение
(0Де[а, а2, ...]
— доказать тоже легко. Действительно, если х лежит в (ОД, то
(1 — а)х = 0,
откуда х = ах, и поэтому
х == ах = а2х — а3х =...
Тем самым элемент х делится на любую степень элемента а. Применим теоремы 1 и 2 к факторкольцу сД] по некоторому
примарному идеалу ср в результате получатся следующие утвер-
ждения:
Теорема 16. Если — примарний идеал и
Ь = 0(аЬ, <0, (6)
то либо (а, <0 = с, либо Ь=0(д).
Теорема 26. Если элемент у кольца о удовлетворяет при каждом натуральном п сравнению
у = 0 (а", <[), (7)
то либо (а, с|) = о, либо у = 0 (9).
125]
ДЛИНА ПРИМАРНОГО ИДЕАЛА
455
Задача 1. В любом неіеровом кольце с единицей пересечение всех символических степеней простого идеала р ф і равно (0)^.
Задача 2. Как формулируются теоремы 16 и 26, когда вместо примарного идеала q берется произвольный идеал ш? (Применить теоремы 1а и 2а к факторкольцу о/т.)
§ 125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеровых кольцах
Теорема 1 и 2 (§ 124) и их варианты были использованы в упоминавшейся работе Крулля для доказательства теорем об обрыве цепей простых идеалов
Н =5 1'2 • ? •
Прежде чем обратиться к этим теоремам, нам нужно ввести понятие длины примарного идеала.
Пусть q — примарный идеал, ассоциированный с простым идеалом р в нётеровом кольце о. Ряд примарных идеалов, ассоциированных с одним и тем же простым идеалом р, оканчивающийся идеалом с,
4! зз ч2 =>...=> ч, = я,
называется собственным нормальным рядом данного примарного идеала. Слово «собственный» употребляется здесь для указания на то, что каждый последующий идеал является в данном ряде собственным делителем предыдущего. Число I называется длиной нормального ряда. Если в ряд нельзя более вставить ни одного примарного идеала, то он называется композиционным рядом примарного идеала <|.
Докажем, что каждый нормальный ряд примарного идеала ч может быть уплотнен до некоторого композиционного ряда и что все композиционные ряды имеют одну и ту же длину. Она называется длиной примарного идеала р.
Для доказательства можно ограничиться случаем, когда ч — нулевой идеал. Общий случай сводится к этому переходом к кольцу классов вычетов по идеалу ч. При таком гомоморфизме все идеалы, делившие ч, станут делителями идеала р.
Ситуация упрощается еще больше, если перейти к кольцу
частных где 5 — множество элементов из с, не делящихся
на р. Все собственные делители идеала р при расширении о до о' переходят в единичный идеал о'; только р переходит в отличный от о' простой идеал р'. Так как каждый простой идеал в о' является расширением некоторого простого идеала из о (а именно— своего сужения), то в кольце о' существует только один простой идеал р', если не считать само о'. Поэтому в представление пересечением любого идеала т'^о' может входить только один прп-марный идеал (ассоциированный с простым идеалом р'), т. е.;
456
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ. XV
В кольце о' каждый идеал, отличный от о', является при-марным относительно простого идеала р'.
Начиная с этого места, кольцо о' и идеал р' обозначим через
о и р. Рассмотрим о как аддитивную группу с областью опера-
торов о. Допустимыми подгруппами являются тогда идеалы в о, т. е. само кольцо о и идеалы, примарные относительно простого идеала р. Каждый собственный нормальный ряд в смысле теории групп
о =э ^ ... до ср = (0)
после отбрасывания начального члена о дает собственный нор-
мальный ряд примарного идеала сц = (0).
В главе 6 было доказано следующее утверждение: если в группе с операторами существует композиционный ряд, то каждый нормальный ряд можно уплотнить до некоторого композиционного ряда и все композиционные ряды имеют одну и ту же длину I. Поэтому нам нужно лишь доказать, что существует хоть один композиционный ряд.
