Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(а, Ь П с) = о.
Тем самым доказаны оба утверждения.
Если теперь идеалы Ьх, Ь2, ..., Ь„ попарно взаимно просты и уже доказано равенство
[Ь*, ..., Ъп~{\ = Ьх ...
то
[Ьт Ь„] = [1>1........Ь„_1]ПЬ» =
=№1... ь„-1)пь„ =
= ЬХ ... Ья_1-Ь„;
следовательно, по индукции получается
Теорема. Наименьшее общее кратное конечного множества попарно взаимно простых идеалов равно произведению зтих идеалов.
Сделанное раньше замечание о решении сравнений по модулям взаимно простых идеалов остается в силе и для нескольких попарно взаимно простых идеалов:
Если идеалы Ьх, Ь2, ..., попарно взаимно просты, то существует элемент \, удовлетворяющий сравнениям
(г' = 1- 2. •••> г)-
Доказательство проводится по индукции. Допустим, что уже получен элемент т), для которого
Л = Рт(Ьг) (1 = 1, 2, ..., г-1),
и найдем I из условий
| = Т1([Ь3, ..., Ьг-г]),
Р-Р/Л),
что всегда возможно, так как идеал взаимно прост с идеалом [Ь„ .... Ьг^].
Если в о имеет место теорема о цепях делителей, то каждый идеал можно представить в виде пересечения попарно взаимно простых идеалов, ни один из которых уже не представляется как пересечение взаимно простых собственных делителей.
Для доказательства найдем в каком-нибудь несократимом представлении данного идеала ш примарньтми идеалами
т = [Ях, •••> Ь]
все те примерные идеалы, которые с одним, произвольно фиксированным среди них идеалом соединяются цепью попарно не взаимно простых примерных идеалов, и составим их пересече-
§ 122]
ОДНОКРАТНЫЕ ИДЕАЛЫ
447
ние Из оставшихся идеалов точно так же построим последовательно идеалы Ь2, ..., Ь*. Представление
ш == [&!, ..., у (3)
обладает нужными свойствами. Действительно, во-первых, Ьг и Ь* при взаимно просты, так как компоненты идеала
взаимно просты с компонентами идеала 6*. Во-вторых, невозможно, скажем, идеал представить как пересечение двух взаимно простых собственных делителей. Если бы такое представление было возможно:
Ьх = Ь П с = 1'с,
(Ь, с) = р.
то каждый простой идеал, ассоциированный с Ьх, обязательно был бы делителем идеала 1ч, а потому делителем идеала Ь или идеала с; так как все эти простые идеалы связаны с одним из них некоторой цепью попарно не взаимно простых идеалов (являющихся простыми), ТО ИЗ ТОГО, что один из них делит Ь, следует, что все они должны делить Ь и ни один из них не должен делить с. Ассоциированные примарные компоненты делят (ч; следовательно, они делят и 6 (так как их простые идеалы не делят с). Отсюда следует, что пересечение 1'х является некоторым делителем идеала Ь:
Ь != У
что противоречит предположению, согласно которому Ь является собственным делителем идеала У
Вместо представления (3) в соответствии с нашими теоремами можно записать следующее представление произведением:
ш = {^2 ... У
Задача. Пересечение (3) является прямым пересечением в смысле § 92. Кольцо классов вычетов с/ш = о является прямой суммой колец 11г/т=а;, каждое из которых изоморфно некоторому кольцу классов вычетов о/К- (Положить <Ч = [&1> •••> Ь(+1....Ь5] и применить теоремы из § 92.)
§ 122. Однократные идеалы
Пусть опять О —нётерово кольцо С единицей.
Единичный идеал о, конечно, является простым. Какие примарные идеалы могут быть с ним ассоциированы? Ответ таков: лишь само кольцо р, потому что если ч — произвольный из ассоциированных с о примарных идеалов, то 1рер, откуда ч = о.
Если в такой ситуации некоторое представление идеала а Ф о пересечением примарных идеалов [Чц ..., чг] таково, что среди ассоциированных примарных идеалов рг есть единичный идеал, то соответствующий ему идеал а,' также равен о и поэтому в представлении пересечением может быть сокращен. Следовательно,
448
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ. XV
если представление а ?= [с|1т ..., 1^] несократимо и а =^- о, то единичный идеал не входит в число ассоциированных простых идеалов.
Отсюда немедленно следует предложение:
Каждый идеал афо обладает по крайней мере одним простым делителем р Ф о. Если идеал а не является примарным, то у него есть по крайней мере два простых делителя, отличных от о.
Идеал, у которого не более одного отличного от о простого дзлителя, называется однократным (по Дедекинду). В соответствии с последней теоремой каждый однократный идеал а примерен. Кроме того, ассоциированный с ним простой идеал р обязательно не имеет делителей, потому что если бы л'фо был собственным делителем идеала р, то а' в свою очередь обладал бы простым делителем р' Ф с, который был бы собственным делителем идеала р и, значит, идеал <[ обладал бы двумя различными и отличными от о простыми делителями р и р', что противоречит предположенной однократности идеала щ
Имеем
рР == 0 (о). (1)
Из соотношения (1) следует, что если р свободен от делителей, то идеал <[ однократен. Действительно, в этом случае для любого простого делителя р' идеала q из (1) следует, что
рР = 0(р'),
откуда
Р^О(р')
и, следовательно, либо р'=р, либо р'= с. Таким образом, идеал I] не имеет простых делителей, отличных от р и р.
Итак, равносильны следующие понятия:
1) однократный идеал;
