Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Возьмем теперь в качестве основной посылки принцип стягивающихся отрезков [102, 103]. Если р < g, то отрезком [р,g] называется совокупность чисел х, для которых р < х < g, где р, g и х — абсолютные рациональные числа.
Определение 2.1. Пусть заданы две монотонные последовательности рациональных чисел, такие, что
a1 < а2 <...< an <...< bn <...< b2 < V
Если для любого рационального е существует такое натуральное число N, что для n > N
bn - an < е
то говорят, что [an, bn] представляет собой последовательность стягивающихся отрезков.
Согласно принципу стягивающихся отрезков, существует единственное вещественное число а, которое принадлежит каждому из стягивающихся отрезков. Для наших целей удобнее дать несколько иную формулировку данного принципа. Именно, удобнее вещественное число ввести как идеальный объект, а утверждение о его единственности постулировать в форме отдельной аксиомы. Итак, заданной последовательности стягивающихся отрезков поставим в соответствие некоторый идеальный объект а. По определению
данный объект обладает следующим свойством: для любого натурального n
an < a < bn. (5)
Для того чтобы объект а можно было назвать числом, необходимо ввести для него арифметические операции, а также указать правила сравнения а с объектами того же типа, что и а, а также с рациональными числами.
Пусть b — другой объект, который мы соотносим с последовательностью стягивающихся отрезков [cn, dn ], т.е.
cn < Р < dn.
Тогда под разностью а - Р будем понимать объект, для которого
an - dn < а - Р < bn - cn-
Аналогично вводятся и другие операции.
Далее, число а будем считать положительным и записывать а > 0, если начиная с некоторого номера n рациональные числа an положительны. Отсюда а > Р, если а - Р > 0.
Легко понять, что приведенных определений еще недостаточно для однозначной идентификации числа а. Другими словами, изложенные определения неполны, так как ничего не сказано о единственности объекта (5). Смысл проблемы поясним на следующем примере. Пусть
0 < а <-, 0 < р < -L
n n2
тогда
--у < а - р <-.
n2 n
Можно ли отсюда заключить, что а = Р? Располагая только принятыми выше определениями, дать однозначный ответ невозможно. Необходимо ввести некоторое дополнительное предположение. Для наших целей его удобно ввести в форме аксиоматического утверждения о разрешающей способности теории. Примем следующую аксиому.
Первая аксиома разрешения. Если относительно двух объектов а и Р, определяемых двумя последовательностями стягивающихся отрезков, известно, что
| а - Р | < 1/n для любого натурального числа n, то а = Р.
Неформальный смысл аксиомы очевиден. Условия (5) локализуют объект а на числовой прямой. Аксиома разрешения утверждает, что объект этими условиями локализуется однозначно. Точнее было бы сказать наоборот: то, что мы наблюдаем при степени локализации (5), мы и называем «единственным объектом а».
Определение 2.2. Математические объекты, удовлетворяющие условиям (5) и Первой аксиоме разрешения, будем называть вещественными числами.
Согласно определению 2.2, вещественное число локализуется с помощью двух монотонных последовательностей рациональных чисел. Известно, что для локализации достаточно только одной из указанных последовательностей. Поэтому факт локализации можно выразить символически в одной из следующих форм:
а = lim an, b = lim bn. (6)
n——от n—— от
Легко доказать, что использование в (6) того же самого символа «lim», что и в равенстве (2), является правомерным.
§ 3. Расщепление вещественного числа на элементарные составляющие — элементарные числа
1. Определение элементарных чисел
В «Началах» Евклида точка определяется как то, что «не имеет частей» [1]. Точка — единый, неделимый объект. Точка на числовой прямой суть вещественное число. Поэтому и вещественное число есть единый, неделимый объект, то, «что не имеет частей». Если вещественное число сравнить с атомом, то можно сказать, что во всех операциях математического анализа данный атом выступает действительно как неделимый объект. То есть полностью соответствует смыслу названия «атом» (неделимый).
Однако задачи, указанные во введении, приводят к мысли, что для создания аппарата с большим разрешением, чем классический, вещественные числа являются слишком грубыми объектами. Их необходимо расщепить на более «тонкие» элементарные части, которые можно было бы использовать в дальнейших построениях. Если вернуться к сравнению вещественного числа и атома, то можно сказать, что речь идет о расщеплении атома.
В физике составляющие атома называются элементарными частицами. «Элементарные частицы в точном значении этого термина — это первичные, далее неразложимые частицы, из которых, по предположению, состоит вся материя. В современной физике
