Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим типичную задачу. Пусть некоторое тело свободно падает вниз без начальной скорости. Тогда траектория падения будет представлять собой прямую линию. Закон движения вдоль этой прямой имеет вид
S(t) = g^L, (5)
где S(t) — путь; t — время; g — ускорение свободного падения. Чему
равна скорость тела v в момент времени t? Вычислим среднюю
скорость тела от t до t + At:
S(t + At) - S(t) At
—-----г— gt + g^ .
At 2
Перейдем теперь к пределу при At ^ 0. В результате получим
v(t) = lim g [ t + A-] = gt. (6)
A^-0
2
Так решается поставленная задача в классическом анализе. Но что значит перейти к пределу при At ^ 0? Это значит, что промежуток времени At необходимо неограниченно уменьшать, т.е. At должно стать меньше, чем 10 10, 10-20,... с. В соответствии с этим и путь, пройденный телом, становится меньше, чем 5 • 10-20, 5 • 10-40,... м. Но ведь для таких времен и расстояний закон движения (5) никто не проверял! Вполне может оказаться, что здесь закон (5) не действует. Более того, возможно, что и сами понятия расстояния и времени и даже свойство их линейной упорядоченности на малых масштабах должны быть пересмотрены.
Техника кинематографа подсказывает следующую возможность,
о которой более 100 лет назад писал Клиффорд [50, 51]. То, что мы принимаем за непрерывное движение, на самом деле может быть быстрой сменой различных неподвижных состояний. В этом случае скорость движения равна нулю. А вот то, что происходит при смене кадров, должно быть описано отдельно. Можно ввести сколько угодно гипотез подобного рода. Вопрос о том, какая из них ближе к реальности — не вопрос математики. Но математика должна дать в руки аппарат для описания подобных гипотез. Классический (архимедов) анализ (анализ-1) дает переход от закона (5) к закону (6) и наоборот. Неархимедов анализ (анализ-2) дает большие возможности. Для определенных масштабов в анализе-2 могут быть сохранены законы типа (5), (6). При этом на меньших масштабах возможно описание,
например, «кинематографической» реальности с быстрой сменой неподвижных состояний.
Таким образом, вопрос о разрешающей способности математического анализа — это не столько вопрос о степени точности полученных результатов, сколько вопрос о масштабных уровнях реальности, которые можно охватить предлагаемым математическим аппаратом. Числовые результаты, которые дает анализ-1, мы можем вычислить с количеством значащих цифр, равным любому наперед заданному натуральному числу. В анализе-2 количество значащих цифр может быть равно не только любому конечному числу из ряда (1), но и любому актуально бесконечно большому числу из продолжения ряда (1). Сам по себе этот факт особого значения не имеет. Практически всегда достаточно от одной до десяти или, в крайнем случае, до двадцати значащих цифр. Принципиальное значение имеет другой факт, именно то, что процессы, которые происходят на микроуровнях, могут влиять или, более того, полностью определять поведение системы на вещественном масштабном уровне. А это значит, что величины, которые имеют порядок бесконечно малых, могут давать суммарные эффекты порядка 1, 10 и т.д.
3. Подводя итог, отметим, что потребность в создании теории актуальных бесконечно малых возникла очень давно, еще во времена Евклида. Позже она в том или ином виде появлялась в самых различных областях математики, механики и физики. Много поколений математиков различных эпох работало над ее разрешением. Достаточно сказать, что период созревания и становления теории актуально бесконечно малых связан с такими именами, как Веронезе, Гильберт, Кавальери, Лейбниц, Пуассон, Флоренский, Эйлер и многими другими.
Обзор работ данного периода представляет самостоятельную и очень непростую задачу. Здесь мы ограничимся только ссылками на краткие исторические очерки и оригинальные работы [1-3, 52-60]. Кроме того, приведем цитату из книги П.А. Флоренского [57], которая в определенной мере характеризует весь указанный период становления теории: «... ни одна из линий не имеет высоты, или, иначе говоря, высота всякой линии равна нулю; но высоты линий, если брать их до перехода к пределу, стремятся к нулю с различной интенсивностью, с различною быстротою». Ниже со ссылкой на Бусси-неска и Лейбница интенсивность стремления к нулю Флоренский называет напряжением. И далее он пишет: «Вот таким-то напряжением и представляем мы себе высоту поверхности, точек и линий. И представление это необходимо, — несистематически же давно существует в науке: разве не так именно мыслятся в физике элементар-
ные магниты, двойной магнитный и электрический слой и т.д. Полное отрицание за ними протяжения просто уничтожило бы их магнитное или электрическое действие, придание же их протяжению конечных размеров нарушило бы элементарный характер этих образований. (Полагаю, что как применительно к этим физическим образованиям, так и в отношении разъясненных образов геометрических следовало бы воспользоваться понятием актуально бесконечно малых...)».
