Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
20. В области элементарных чисел есть свои нуль и единица. Они представляют собой следующие классы эквивалентности:
°эл = Lim0абс; 1эл = Lim1абс.
Аналогичным образом в область элементарных чисел включаются натуральные, целые и любые рациональные числа.
30. Определены операции вычитания и деления. Операция деления определена не для всех пар элементарных чисел.
40. Среди элементарных чисел отсутствует мнимая и дуальная единицы, т.е. отсутствуют числа i и J такие, что i2 = -1 и J2 = 0 при J ф 0.
50. Область элементарных чисел является частично упорядоченной.
Напомним следующее
Определение 3.3. Числа А и В называются делителями нуля, если А ф 0, В ф 0 и АВ = 0.
60. Среди элементарных чисел есть делители нуля.
Теорема 3.1. Для того чтобы число Liman ф 0эл было делителем нуля, необходимо и достаточно, чтобы для любого наперед заданного номера N всегда нашелся хотя бы один номер m > N такой, что am = 0.
• Доказательство. Необходимость. Пусть АВ = 0. Значит, начиная с некоторого номера, anbn = 0. Предположим противное: нашелся такой номер N, что для всех m > N am ф 0. Но тогда bm = 0
и, следовательно, B = 0, что противоречит определению.
Достаточность. Пусть для любого N существует m(N) такое, что am = 0. Положим bm ф 0. Для остальных значений индекса положим bn = 0. Таким образом, число B = Limbn отлично от 0, но произведение АВ = 0. ¦
Проще говоря, для того чтобы элементарное число было делителем нуля, необходимо и достаточно, чтобы число 0абс в его приближениях встречалось сколь угодно далеко.
70. В области элементарных чисел невозможно деление на число
0эл и числа, являющиеся делителями нуля.
80. В области элементарных чисел есть сколько угодно двойных единиц. Иными словами, уравнение
А2 = 1
А 1эл
имеет сколько угодно решений, отличных от ±1.
Определение 3.4. Число А назовем положительным (актуально) бесконечно большим числом, если А > N для любого наперед заданного натурального числа N.
90. Существуют элементарные числа, большие любого наперед заданного натурального числа. Например, число Limn4.
Определение 3.5. Число А будем называть положительным бесконечно малым (или актуально бесконечно малым числом), если
0 < A < 1/M, где M — любое натуральное число.
Имеет место свойство
100. Существуют элементарные числа, которые являются положительными бесконечно малыми числами.
Например, число Lim1/(n2 + n).
Аналогичным образом определим и отрицательные бесконечно большие (малые) числа. Кроме того, примем следующее
Определение 3.6. Число А называется бесконечно большим (малым), если |A| — положительное бесконечно большое (малое) число.
Нетрудно доказать, что если бесконечно малое число не является делителем нуля, то число, обратное ему, будет бесконечно большим и наоборот: числа, обратные бесконечно большим, являются бесконечно малыми. Кроме того, бесконечно малые числа — это элементарные числа, полученные в результате расщепления вещественного числа 0вещ. Точно так же бесконечно большие числа получены из расщепления объекта ®вещ.
Таким образом, в области элементарных чисел Первая аксиома разрешения не действует. Следовательно, эту числовую область необходимо отнести к неархимедовой.
3. Эталонные бесконечно большое
и бесконечно малое элементарные числа
Каждое бесконечно большое элементарное число связано со своей неограниченно возрастающей последовательностью рациональных чисел (результат расщепления объекта ®вещ). Есть ли среди них последовательность, которая является в каком-то смысле исключительной, т.е. такая, которая бесспорно выделяется из всевозможных неограниченно возрастающих последовательностей? Представляется, что на этот вопрос можно дать совершенно однозначный положительный ответ: да, есть. Это последовательность натуральных чисел, взятых в своем естественном порядке:
1,2,3,... n,.... (5)
Выше предполагалось, что натуральные числа заданы изначально и в этом смысле они имеют для нас абсолютное значение. Причем числа заданы в своем естественном порядке (5). Поэтому можно принять, что последовательность (5) также имеет абсолютное значение. Данной последовательности соответствует элементарное число, которое обозначим через w:
w = Lim n.
n
Ниже обозначение w будет использоваться только в указанном смысле. Таким образом, число w можно принять за эталон бесконечно больших чисел. Последнее равенство дает ответ на следующий вопрос: куда же, собственно, стремится переменная n в своем пределе Limn? Теперь ясно: переменная n стремится к объекту w. Это дает основание для того, чтобы уточнить обозначение предела (4) следующим образом:
A = Lim an.
n^w
В некоторых случаях такая форма удобна для вычисления пределов, например
Lim(n2 + n + 1) = w2 + w + 1.
