Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
термин “элементарные частицы” обычно употребляется не в своем точном значении, а менее строго.» [104]. Согласно современным представлениям, большинство элементарных частиц являются составными.
Элементарные частицы рассматриваемой здесь математической реальности (в точном значении слова «элементарный») — это абсолютные рациональные числа. Мы хотели бы расщепить вещественное число на такие «элементарные частицы», которые, возможно, и были бы составными, но которые в дальнейших построениях расщеплять бы уже не пришлось.
Рассмотрим решение данной задачи на примере неперова числа е. В состав вещественного числа е входит последовательность
1 + I
а также последовательности rn, которые отличаются от
rn любым конечным числом членов. Объединим их в один класс, который обозначим как
Lim rn = Lim
n n n
i +1
= Lim r'n.
П
(1)
Далее в состав e входит последовательность
Pn=
1 +
1
n + 1
n+1
а также последовательности Pn, которые отличаются от Pn конечным числом членов. Также объединим их в один класс, который обозначим
Lim
n
1 +
1
n + 1
n+1
(2)
Аналогичным образом поступим с любой последовательностью из состава неперова числа. Ясно, что любая последовательность из состава числа е попадет в один и только в один из классов вида (1), (2). Поэтому можно сказать, что само неперово число представляет собой совокупность объектов типа (1), (2). Данные объекты и представляют собой те «элементарные частицы», на которые необходимо расщепить вещественное число. Будем называть их элементарными числами.
Дадим теперь формальное определение. Рассматриваемую числовую систему можно описать как фильтрованное произведение счетно-бесконечной декартовой степени поля рациональных чисел по фильтру Фреше [49]. Пусть заданы две последовательности ра-
n
rn =
n
n
n
циональных чисел {an} и {bn}. Будем считать их эквивалентными, если найдется такое натуральное число N, что для любого n > N
I an - bn | = 0. (3)
Определение 3.1. Классы эквивалентности последовательностей абсолютных рациональных чисел (3) будем называть элементарными числами.
Если некоторая последовательность {an} принадлежит классу эквивалентности А, то этот факт будем констатировать с помощью записи:
A = Liman = Lim(a1, a2,...an,...). (4)
n n n n
Индекс «n» под знаком Lim соответствует текущему номеру члена последовательности. Если в обозначении an фигурирует только один индекс, то будем использовать также сокращенную запись
A = Liman = Lim(a1, a2,...an,...).
Рациональные числа an по отношению к А будем называть приближениями А. Сам объект А по отношению к последовательности {an} будем называть пределом (в смысле Lim) последовательности. В случае необходимости принадлежность к области элементарных чисел будем отмечать индексом «эл». Например, 1эл = Liml^ — это класс эквивалентности, в который входит стационарная последовательность {1абс}.
Все арифметические операции над элементарными числами A, B = Limbn введем через их приближения:
A a
А ± B = Lim(an ± bn); A ¦ B = Liman • bn; — = Lim—n, bn ф 0.
B bn
Модуль и целую часть числа А определим как |A| = Lim|an|; [A] = Lim[an].
Определение 3.2. Будем считать, что A < B, если начиная с некоторого N an < bn для любого n > N. Если A < B и A ф B, то будем писать A < B.
Легко видеть, что результаты арифметических операций и отношение < между элементарными числами от выбора конкретных представителей из соответствующих классов эквивалентности не зависят.
Область элементарных чисел является частично упорядоченной. В ней есть как сравнимые числа, например Liml < Lim2, так и числа, не сравнимые между собой, например Lim0 и j = Lim(-1)n+1.
Везде будем использовать различные вариации исходных определений, если смысл их будет ясен из контекста. Так, запись B > A будем считать равносильной записи A < B, A2 = A ¦ A и т.д.
Замечание. Непосредственно при расщеплении конечных вещественных чисел мы получаем элементарные числа Lim rn, в которых последовательности rn являются обязательно фундаментальными. В результате арифметических операций мы приходим к числам, последовательность приближений которых может быть не фундамен-
(-1)n 1
тальной: например, при делении Lim—— на Lim—. Именно поэтому
nn
в определение 3.1 условие фундаментальности не включено.
2. Свойства элементарных чисел
10. В области элементарных чисел определены операции сложения и умножения. Данные операции а) коммутативны; б) ассоциативны; в) дистрибутивны.
