Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
n^w
Наличие эталона для бесконечно больших чисел однозначно определяет и эталон бесконечно малых чисел, т.е. эталон, равный обратной величине w:
E = — = Lim- . w n
4. Соответствие между элементарными числами
и обычными функциями классического анализа
Переход от элементарных чисел к обычным функциям классического анализа достаточно прост. Число A = Lim an однозначно определяется последовательностью своих приближений. Как обычно, данную последовательность можно рассматривать как функцию дискретного аргумента an = f (x), x = 1, 2,...n,_
Теперь можно сказать, что каждому элементарному числу А отвечает своя функция у = f (x).
Приведем примеры. Во-первых, конечным натуральным числам соответствуют функции-константы:
у = f (x) = 1; у = 2,... у = n,... .
Далее, числам E, w - 1, w,... w2,...ww... соответствуют функции
у = f(x) = —; у = x - 1; у = x; ... у = x2,... у = xx,_
х
Иногда бывает удобно продолжить данные функции на все вещественные значения х. Это позволяет для исследования элементарных чисел (например, для определения их знака) пользоваться всем арсеналом средств классического анализа.
5. Продолжение натурального ряда
в область актуальных бесконечно больших чисел
Итак, мы построили область элементарных чисел. В данную область входят натуральные числа, число w, а также множество других конечных и бесконечно больших чисел. Возникают следующие вопросы: можно ли указать естественные правила, которые позволили бы продолжить натуральный ряд в область актуальных бесконечно больших чисел? Чем следует руководствоваться при построении такого продолжения?
Прежде всего мы должны обратиться к опыту построения обычных натуральных чисел. Его исходной посылкой был пересчет отдельных предметов. Может ли эта посылка быть главной при решении нашей задачи? Ее явно недостаточно. Даже для конечных совокупностей процесс пересчета является не таким ясным, как это обычно представляется [62, 93]. Тем более трудно говорить о продолжении такого процесса в область актуальных бесконечностей. По-видимому, максимум, что может дать идея пересчета для области
бесконечного, так это следующее условие: если продолженному натуральному ряду принадлежит бесконечно большое число v, то этому ряду должны принадлежать также числа v + 1, v + 2, v + 3,_
Дальше возникает проблема выбора чисел v. Для ее решения необходима новая идея. Есть одно правило, которое всегда приводит к нужным идеям. Оно сводится к тому, чтобы ясно сформулировать потребности, ради которых эти трудности должны преодолеваться. В нашей ситуации это означает, что необходимо ответить на вопрос: а что, собственно, мы хотим от нового натурального ряда?
При ответе на него будем исходить из следующей посылки. Известно, что, взяв за основу обычный натуральный ряд и двигаясь по определенному пути, можно прийти к вещественным числам и затем к классическому анализу. Естественно попытаться пройти такой же путь и для неархимедова анализа, взяв за основу натуральный ряд, продолженный в область актуальных бесконечно больших чисел. Поэтому примем условия, благодаря которым продолженный натуральный ряд может служить основой неархимедова математического анализа. (Для удобства продолженный натуральный ряд будем называть также «натуральным» рядом, а его члены — «натуральными» числами). Возникает вопрос, насколько далеко должен простираться «натуральный» ряд в области бесконечных чисел? Для классификации рядов по этому признаку введем два определения:
Определение 3.7. Будем говорить, что «натуральный» ряд элементарных чисел ограничен числом L , если любое число v из данного ряда меньше, чем L : v < L .
Определение 3.8. Будем говорить, что «натуральный» ряд неограничен, если в этом ряде всегда найдем число v, которое превосходит любое наперед заданное элементарное число A.
Кроме того, понадобится еще одно определение.
Определение 3.9. Если m = Lim mn, v = Lim vn и приближения vn являются числами натуральными, то примем, что mv = Limmvnn.
Вначале ограничимся минимальным арсеналом средств для продолжения натурального ряда. Примем следующие условия:
10. Продолженному натуральному ряду принадлежат натуральные числа 1, 2, 3,. и эталонное бесконечно большое число w = Limn.
20. Условие замкнутости. Если продолженному натуральному ряду принадлежат числа m, v, то ему принадлежат и числа m + v, m ¦ v, mv.
30. Условие линейной упорядоченности. Любые два числа m и v, принадлежащие продолженному натуральному ряду, должны находиться в одном и только в одном из отношений:
m = v, m < v, v < m.
Условие замкнутости 20 является достаточным для выполнения следующего условия.
20а. Условие плотности. Если продолженному натуральному ряду принадлежат три числа m, v и Г, то ему должны принадлежать еще два числа а и Р такие, что
0<
a m
Р - V
Действительно, пусть ряду принадлежат три числа m, v и Г. Тогда данному ряду принадлежат и числа
