Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
#_Q AA C B
89. a sin —2— = 2rb sin -g--0 cos у. 90. 2a cos2 у = ? sin A. 91. a sin2 у =
= sin -7Г- a sin -7.--& cos -тс- . 92. с = cosec A1 sin B = --~--. 93. , b " ^ =
^ \ ^ ^ / hb~-ha
-ctg^ctg^. 94. cos^ = A.+ A.95. JL=I^ J___L
96. га и ro определяются из уравнений ra — rb — U1 —---¦= ~---L
9 9 9 о га ГЪ Нь ha'
- hahb. 100. 2m^ cos С = V(ml — h2a) (4т2а — h\) + hhb. 101. 9a? = 8m2b +
9 о с 4л:2 -f-1 — 4x cos Л 3mt
+ 8/? —4/?. 102. ^ = — , -=-99. ЮЗ. Стороны диб
c b 2x2 +1 2m2 + m2
Ответы. § 2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
727
/ 9 9ч ть 3(л:2 — 1)
определяются из системы 4 (т^ — гаЛ = 3 (b2 — а2), 1--— =---.
та 4 -j- X2 — 4х cos С
где x = Y' *°4. Отношение X = у определяется из уравнения (7/я2--10/w2))л'2-f +16(m2—/n2)*= 7w2—10т2. 105. ctg J = . Ю6. cos Л и sin Л опре-
#,2/* _а
деляются из уравнения a cos k = 2ha sin Л — я cos Л. 107, ctg у =-gf"--•
И*- ctgf = -^^-. 109. ctg A --'^2+* , ПО. (»-c)^(A1I,,). Hl. ctg J = -*-. 112. 6 — c = Jf1 k(a2 — x2) = 2ahax. 113. (6 + с)2 = 4,2 + а2. 114. 6 = 1(* + K4m^ + я2 ~ /г2), где , = & + с. 115. b=p-~+ /т2-/+а/>. 116. Указание: в треугольнике ЛЛ'? (Л' — середина ?С) известны две стороны: —, та и угол ЛЛ'?, так как s = ^ ата sin (AA'В) и "т. д. 117.6=2, ± х V~4m2 + 2,2 — 2д2. 118. 5 ctg В = а2 — Vm2ba2 — s2. 119. 6 и с —корни уравне-ния а2 — ,л- + -?2а___а2 = O1 гле k = b + с. 120. Произведение х = Ьс определяется
из уравнения 4л-2 + (,2— а2 — 4/2) л- = /2,2. 121. 6 и с — корни уравнения: X2 — — а^ л: + k2 = 0. 122. Полагая b + с = х, Ьс = у, найдем: /2 = у — J-— .
Vk2-її х2
4s2 /2 X2
1 = ———J—^——, отсюда X и у. 123. Указание: ha = la cos 124. Указание:
sin Л =-LL-. 125. ctg -^- = — и т. д. 126. с —корень уравнения l\ (a + с)2 =
= ас(я —, + 2с)(я + ,). 127. Сторона с — корень уравнения: I2 (а+ с)2 = = ас (а + k+ 2с)(а— 128. В решении задачи № 126 заменить , на 2р — а.
129. В треугольнике ABD2 угол BD2A = С + у '> следовательно, для решения
треугольника CBD2 имеем две стороны: а, lb и угол BD2C1 противолежащий а (BD2 — биссектриса внутреннего угла В; точка D2 лежит на AC1 так что BD2 = lb).
(А\ A 2s
cos , — sin -"2" J = 2г cos -^-. 131. ha = ~ и т. д. 132. я2 + 4я/га ctg Л —
— 4/я2 = 0. 133. л2 + 2aha ctg у — ,2 = 0. 134. а2 — 2haa tg А — ,2 = 0.
135. а (2р + ha ctg J^ = 2р2. 138. Заменяя в уравнении а2 = b2 + с2 — 2bc cos Л
стороны на -J-, , J- , найдем A^ = — 2/г2 cos2 у + ha j/~4A2 cos4 J- -f- k2;
зная hb + hc и a*Ac, найдем hb n hc. 137. ,2 cos (b — c) = 2h\ sin2 Л — ,2 cos A.
?_q л ?_q a
138. Указание: r cos —^-= (ha — f) sin -tjt • 13э- ra cos —2— ^ ^A Sln T *
140. 6 и с —корни уравнения х2 — kx + -J- (,2—-4m2j cosec2 — = 0. 141. be= X1 4x2 — (2x cos Л — 4m2)2 + ,4 = 0. 142. (2p — a)2 = 2m2 -f + (2m 2 — ^sec A 143. b + c = hbs^~AC - 144. 2^ + 2/* ctg Щ +a2 — 4m2 = Sr (a + r ctg у) cosec Л. 145. Указание: rb — rc = (b — с) ctg J-, д2 = 62-f-c2—26с cos Л, 4m2, = 2 (я2+с2)—б2-
728
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1 А А
146. Ь и с — корни уравнения х2 — kx kla sec -^- = 0. 147. bc = х} Ax2 cos2 у =
А А
2р2 — 2pla cos -тг- ч л/ di- r sin тг
л / 9 , * \ 2 149. Указание: cos В—С 2
= l2a (k2 + Ах). 148. а =----j- . —---.
2р — /в cos у 1o sin у — г
150. R2COS(B-С) sin Л ^s--^-sin 2Л. 151. я=---. 152. ak^k2 т-stgy.
153. (1 — тг) cos ^"^"- =а /wr sin ~| . 154. я = Га . 155. г ctg= гьXg у.
tgT
«е„ п С—В Л/ В—С , . Л\ ,«о. Я — С
156. 2 sin —2— ~ 772r ctg -^-I cos —?---1 sin ~2)9 157. 2ro sin —^— ==
= *(cos B~^C + sin y) . 158. 2ra (c-k)tg у = (c + *)^2r0 ctg у —2c) ,отсюда
len n ... B-C ./ # — C , , Л\ находим с. 159. 2ro sm. A sin —^— = kl cos —^--J- sin у J, отсюда находим
В— С, 160. b — c = mbc sin Л, 4r? с1§2 у — 4 (b + с) ra ctg у + Abe cos2 у = 0;
отсюда найдем b и с. 161. 2rb cos—^— = &fsin—^--hcosyj- 162./? — корень
(4 \ А b — гъ~2 > где & = я+?- 163. с = к —
j\ ( А\ А
— 2rb Xg у. 164. с — корень уравнения г* (? + с) = (с — As) (с + >*ИЕ у ) tg у •
?__Q k cos *2--^ sin у
165. sin—2—~-^-¦ • 166. а в. b — с определяются из системы
b + rb tgy
A k2 sin Л Л
уравнений а + (Ь — с) = 2/> tgи а —- (6 —• с) =-. 167. д: = cos ,
* (Aa - 1I) - ^h2Ja + k&2 = 0. we * = Ь + с. 168. /в sin А +
+ Aec08A) = 169. /2/^*!^ A = Al-(V^F1AI-^^1?)-
170. sin 4= (hl-r)la • »71. /"^a =/а (^cos 4 +Aa sin 4)- 172. <2Ae-A)X X 4 cos Л = k {2h\ — l\) — 2hJ2a . 173. * = 2ha sin C~B cos ^ . 174. m sin 4 X X (ha + /e sin 4) = 2/a cos2 4 . 175. k2 sin2 Л = (2?2 — 8m2) (1 + cos A) + q\
176. tg-4 = * tfV-*2*2=*2-^2,. 177. А2со82Л+(8т2в-2й2)со8Л=8т2-й2-^. 2 Л 4 (т + 1)2 К-*2) 4т2
178. 4»i = Т + 2,41 + cos А). 179. = ^/ . 180. -—^ -
