Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Пусть AD = AE; найти соотношение между углами В и С.
3°. В дальнейшем рассматриваются треугольники ABC, для которых
а) Вывести геометрически соотношение между отрезками AE и AD биссектрисы угла А.
б) Доказать, что высота, опущенная из вершины А, касается окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
в) Найти соотношение между сторонами треугольника.
102*. 1°. В треугольнике ABC три угла, расположенные в порядке возрастания (А < В < С), образуют арифметическую прогрессию со знаменателем ср. Найти стороны треугольника, зная его периметр 2р, и угол ср. Исследовать.
2°. Дан периметр 2р и площадь s треугольника ABC.
Вычислить ср. Исследовать. На^ти соотношение между р и s, при выполнении которого треугольник будет прямоугольный.
3°. Построить треугольник ABC, зная его периметр 2р и сторону /
квадрата, площадь которого равна площади этого треугольника.
103*. Дана фиксированная окружность (О) с центром О и радиусом R. На
этой окружности фиксируется точка А, а на радиусе OA берется точка (о 3
на расстоянии -д- R от точки А. Пусть (u>) окружность с центром со,
25*
388
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
проходящая через точку А. Рассмотрим касательную (А) к окружности (ш) в переменной точке / этой окружности; обозначим через В и С точки, в которых эта касательная пересекает окружность (О), через M — середину ВС, через D — точку, в которой продолжение AI пересекает (О). 1°. Доказать, что AI — биссектриса угла ВАС. Доказать, что треугольники ABD и BID подобны. Вывести отсюда, что AD= 2BD и что Ъ-\~ с = 2а, где а, Ъ и с длины сторон треугольника ABC 2°. Дан угол А\ вычислить В и С.
3°. Выразить в функции R и А длину стороны ВС треугольника ABC, затем из рассмотрения трапеции OAHM высоту АН этого треугольника и его площадь s. Построить график функции s = s(A). 4°. Доказать, используя инверсию (О, R2), что окружность (BOC) при изменении (Д) касается фиксированной окружности.
Найти геометрическое место центров окружности (BOC) и геометрическое место полюсов P прямой (Д) относительно окружности (О). Доказать, что касательная в точке P к геометрическому месту точек P есть поляра точки / относительно окружности (О). 104*. ABC — равносторонний треугольник, AB = а, О — центр окружности, описанной вокруг этого треугольника. Обход треугольника ABC в направлении от А к В и С примем за положительный обход в плоскости. Пусть А'В'С — треугольник, полученный из треугольника ABC поворотом вокруг точки О на угол 0 (0 < O < 120°) и пусть, наконец, Oz — прямая, в которую перейдет OA при повороте вокруг О на угол O.
1°. Доказать, что треугольники ABC и А'В'С симметричны относительно Oz. Пусть D — точка пересечения прямых AC и А'С, E— точка пересечения прямых AB и А'В', F — точка пересечения прямых ВС и В'С. Доказать, что треугольники ADE и A'EF равны.
2°. Вычислить периметр и углы треугольника A'EF. Выразить его стороны в функции o и 6.
3°. Определить 6 при условии, что EF = ¦•, где т — данное по-ложительное число. Исследовать. Пусть tg^ = t. Доказать, что
у = А'Е = ^ ^Y~3 ' ^означим чеРез г Рал-иУс окружности, вписанной в треугольник A'EF. Вычислить г в функции у. Найти максимум г при условии, что у изменяется. 105*. Треугольник ABC изменяется таким образом, что точки В vi С фиксированы, причем расстояние между ними равно б. Сумма сторон AB и AC постоянна и равна 10. Обозначим через D основание биссектрисы внутреннего угла A, а через О — середину ВС. Положим OD = X.
1°. Построить, используя геометрическое место точек, которое описывает точка А, треугольник ABC, зная точку D, расположенную между В и С.
2°. Доказать, что для любого треугольника ABC, удовлетворяющего условию задачи, имеем
sin В + sin С _ 5 В , С _J[_
sin (В + С) ~~ "3 ' tg 2 tg 2 ~~ 4 ' 1
3°. Вычислить в функции X длины сторон AB и АС. Вычислить косинус угла А, затем косинус угла BAD. Найти проекции AB' и AC сторон AB и AC на прямую AD. Установить, что касательная AT к окружности с диаметром В'С сохраняет постоянную длину при
изменении х. Найти ig DAT. Какой треугольник ABC соответствует минимуму угла DAT?
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
389
106**. Доказать, что углы Л, В, С треугольника ABC удовлетворяют соотношению
2 Jin2 A -j- sin2 В + sin2 С ctg Я+ ctg С.
^ sin 2Л 4- sin 2tf 4- sin 2С CIg ^ CIg ^ L ^
Существуют ли треугольники, для которых
sin2 А + sin2 В + sin2 С = ctg Л + ctg В + ctg С.
107**. Дан треугольник ЛБС; / — центр вписанной в него окружности. Пусть Аъ и A0—проекции точки А на BI и С/; ?c и Ва — проекции точки В на CI и Л/ и, наконец, Са и C0 — проекции С на Л/ и Bi. Доказать, что произведения сторон треугольников АъВсСа и АсВаСь равны между собой и что сумма площадей этих треугольников равна половине площади треугольника ABC.
108*. Переменный треугольник ABC вписан в окружность (Г) (фиксированную) с центром О и радиусом R. Вершина А фиксирована, а сторона ВС проходит через середину D радиуса OA. Обозначим через Л, В, С углы треугольника ABC, через s — его площадь, а через ср — угол ADB (черт. 77).
