Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
385
91. Пусть H— ортоцентр треугольника ЛВС. Доказать, что АН, BH vi CH— корни уравнения
xs~ 2(R-+-г) X2+-(г2 -f-p2 — AR2) X — 8#3 cos Л cos В cos C = O.
92. Высоты треугольника ABC продолжены до пересечения с описанной окружностью в точках M1, M2 и M3. Доказать, что
Г. пл. Д M1M2M3 = Ss cos A cos В cos С.
2°. AM1 sin Л + BM2 sin В ~f- CM3 sin С = SR sin Л sin В sin С.
93. Доказать, что если ґ, г", гт — радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников O1BC, O2AC и 03ЛВ, то r'r"r"' = 2R2r (O1, O2, O3- центры вневписанных окружностей).
вписанных окружностей в треугольнике. 95. Доказать, что если а и Ъ — стороны параллелограмма (#>#), t — меньший угол, X — большая диагональ, у— меньшая диагональ, I1 — меньший из углов, образуемых диагоналями, то:
1°. X2 = а2 + ?2 + 2abcost;
2°. y2=a2-+-b2 — 2abcostl;
3°. 4а2 = X2 + у2 + 2ху COSt1;
4°. Ab2 = х2-\-у2 — 2хуcos/;
го - ± . і 2db 5 . sin / : sin/, =--;
1 ГУ 7
96. Обозначим в трапеции большее основание AB через а, боковую сторону ВС — через Ь, меньшее основание CD — через с, боковую сторону DA — через d, диагональ AC — через g, диагональ BD — через /, точку пересечения диагоналей — через О и /ЛОД—через t. Доказать, что:
ху
9°. 5 = 1/(2^4-^-+-3/)(2а+ X— у)(2а — х-\-у)(х-\-у— 2а) .
P + g2
g4 = b2-\-d2-+-2ac;
P
g2 = ^(b + d)(b-d);
cos
I-I1/" (a + e+f-g) (¦
1 Г (q + c+f-g) (q + c-f+g)
2 - 2 V fg
25 П. С. Моденов
386
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
97. Принимая обозначения предыдущей задачи для произвольного четырех» угольника (AB = a, BC = b, CD = ct DA = d, AC = g, BD = J9 угол между диагоналями t); доказать, что:
1°. а2+-с2 — 2асcos(a, c) = b2 + d2 — 2bdcos(b, d);
2°. fg cos t = ас cos (a, c) — bdcos(b, d) = 1>(а2 — b2+-c2 — d2\; 3°. 2accos(a, ?) = /2-+-^2 — Й2 — d2\
4°. 4p2 = /2-f ?2 — 2/^cos^ = /2 + ^2 + *2 + rf2_a2_c2== = b2+-d2+-2bdcos(b, d), где p — отрезок, соединяющий середины сторон а и с. 5°. s=jfgsint.
6°. s=\V*Pg2 — (a2 — b2 + c2 — d2f.
7°, s= pq sin (p, q), где q — отрезок, соединяющий середины сторон o и d. 8°. s= j(^2-/2)tg(p, ?).
98. Обозначим через а, 6, с, а? стороны AB, BCt CD и DA вписанного четырехугольника, через dx и Af2 — его диагонали AC и BD, через s — площадь, через t — угол между диагоналями и через 2р — периметр. Доказать, что:
IO л — a*+d* — b* — c*. 1 . С05Л— 2 (ad+ be) '
3о t Л (p —*)(P-
3 ' g 2 - У (p-*)(p-
oo Л . С ,/^ (р —с)(р —b) .
2°. cos— = sin = 1/ ——тЧ^т-1»
2 2 г ad+ 6с
Г="3)".
_
ЛО ~:п л_ 21/(р-A) (р-6) (р-С) (р-rf) -
4 . Sin л _ ad + ?с
5°. S = V(P-a)(р — *)(р — C)(P-d);
6°. tg Л = + _ ?2 _ <,2 Ї
Г (ad + be) (ас + bd) (дб + rfc) (де + ^rf) .
7- ^ = У -аУ+^—' ^=V-—щ^тс-'
8°. U1O2= ас+ bd, ^=—31-,
dl ad + be
й__ri t*_/л
9°.
d2 — dx __ (a — c)(b — d)
d2 + dx — (a + c)(b + d) 9 10°. 4Rs = V(ad +- be) (ab + cd) (ас +¦ bd); l\°.(ac+-bd)sint=*:2s; 12° x* — *2 — dl Уі — У2 _
ad be ad+ be ' ab cd ab+ cd 9
X1 _ x2 _ yx _ y2 ad bc ab cd 9
где X1 = AK и X2 = CK — отрезки, на которые диагональ AC делится диагональю BD, а уг = BK и y2 = DK — отрезки, на которые диагональ BD делится диагональю АС.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
387
99. В плоскости даны две взаимно-перпендикулярные оси:
х'Ох и у'Оу.
На полуоси Ox берется точка А, на полуоси Oy — точка В, при этом OA = OB-а >0. Повернем прямую у'у вокруг точки О на угол а, заключенный между —Y и ~; получим прямую (D); с другой стороны,
повернем вокруг точки А прямую AB на угол — а. Получим прямую (Л). При каких значениях а прямые (D) и (Л) будут параллельны? При каких значениях а прямые (D) и (Д) будут перпендикулярны?
100. 1°. Вычислить в функции сторон а, Ъ% с и углов A1 B9 С треуголь-
ника ABC стороны а', Ъ', с' и углы A't В', С треугольника А'В'С, где А', В', С — основания высот AA', BB', CC треугольника ABC. Рассмотреть два случая:
а) А, В, С — углы острые и а > Ъ > с.
б) Л — тупой угол.
2°. Доказать, что полученные результаты можно использовать для вычисления углов Л, В, С треугольника ABC1 если известны числа /, т, п:
/ = acos Л, т = b cos B1 п = с cos С.
Рассмотреть два случая:
а) /, т, п положительны;
б) Z < 0.
3°. Обозначим через A1, B1, C1 точки, в которых прямые В'С, CA' и А'В' пересекают соответственно ВС, CA и AB. Доказать, что четверки точек (BCAM1), (САВ'ВХ), (ABCC1) гармонические. 4°. Указать в каждом из двух предыдущих предположений а) и б) геометрический способ построения треугольника ABC, если известны I, т, п. 101*. Рассмотрим треугольник ABC: длины его сторон ВС, CA и AB — соответственно а, Ь, с, внутренние углы — А, В, С. Предположим, что # > с. 1°. Пусть D и E — основания на стороне ВС биссектрисы соответственно внутреннего и внешнего угла А. Вычислить AD и AE в функ-
a А
ции Ъ, с,
