Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
R
ности равен -у.
57. Доказать, что та же окружность (A1B1C1) проходит через середины отрезков НА, HB и НС.
58. Доказать, что центр O9 окружности (O9) девяти точек (т. е. окружности, проходящей через основания высот, середины сторон и через середины отрезков НА, HB и HC) отстоит от сторон на расстояниях
1 RcOS(B-C), ~ R cos (С — A), jRcos(A-B). 1
59. Расстояния от O9 до высот равны
1^sIn(B-C)1 ~- RsIn(C — А), ~ R sin (А — В).
60. Доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника ABC, есть окружность девяти точек для треугольника O1O2O3.
61. Доказать следующие соотношения:
а) AOi = ~ (1 + 8 sin В sin С cos А);
б) Л092 + В092 + С09---^(11+8со5ЛсосВсо5С).
Даны а, Ъ, А, причем а < Ъ («сомнительный» случай решения треугольников). Обозначим через C1 большее, а через C2—меньшее значения третьей стороны.
Доказать, что (задачи 62—66):
62. C1 — C2 = 2а cos В, c1-\-c2=2bco^A.
63. с\ + с\ — 2C1C2 cos 2А = Aa2 cos2 Л.
64. J^±?L=c^A
Ci — C2 ctg В
65. C1 и C2 — корни уравнения
X2 — 2bx cos A~\-b2 — ?2=r0.
66. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ACBx и ЛС?2, равны между собой.
Доказать, что в каждом из следующих случаев треугольник равнобедренный (задачи 67—73):
67. 2cosS = Uu4.
sin С
68. ? = 2?cosC.
§ 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
383
69. a = 2b sin .
70. aigA+bigB = (a + b)ig^^
С В
71. (р — b)ctg-2=ptg -^.
. А - В . В * А
72. sin Y cos 2~ = шп "2"cos "У •
73. cosec 5 + ctg 5 = 2д + с— #
74. Доказать, что если 3/? = 4г, то
75. Доказать, что если
7
cos Л + cos В + cos С = ,
Л 1 /~р + с* С05 2-= 2 І/ то о2 = 2Ьс.
76. Доказать, что если
(b + c + a) (ft + c —а) = 3&с.
то Л = 60°.
77. Доказать, что если 0 = 45°, то
О+ctg 4)(l+ctgC) = 2.
78. Доказать, что если А = 60°, то прямая, соединяющая точку пересечения высот с центром описанной окружности, образует со сторонами AB и AC равные углы.
79. Основание треугольника разделено на три равные части и точки деления соединены с вершиной. Доказать, что если tv t2t іг — углы, противолежащие отрезкам деления, то
(ctg tx + ctg t2) (ctg t2 + ctg ^3) = 4 (1 + ctg212).
80. В сектор радиуса R вписана окружность, радиус которой равен г. Хорда сектора равна 2с. Доказать, что
1 = 1+1
81. В вершинах треугольника проведены касательные к описанной окружности. Доказать, что углы треугольника, образованного этими касательными, будут: т: — 2Л, тг — 2В, т: — 2С, а стороны
а _Ъ_ с
2 cos В cos С * 2 cos С cos А 9 2 cos A cos В '
82. На полуокружности взята точка Р. Вписано две окружности: одна касается диаметра и окружности в середине дуги BP, а другая — диаметра и окружности в середине M дуги СР. Доказать, что радиусы этих окружностей равны:
ас ab
Що +с) и Ща + Ь) 9
где a, b, с — гипотенуза и катеты треугольника BPC
83. Вершина А прямого угла соединена с серединой Ог гипотенузы. Доказать, что квадрат расстояния между центрами окружностей, вписанных в треугольники AJBO' и АСО\ равен
а* (2 — sin 2C) (1 + *in C)(I + cos С) *
384
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
84. Окружности радиусов R1 и R2 пересекаются под углом С. Доказать, что длина их общей хорды равна
2R1R2 sin С
V R\ +¦Rz[+ 2R1R2 cos С
Окружности (O1), (O2), (O3), радиусы которых R1, R2, R3, касаются попарно внешне друг друга в точках P1 N и М. 85. Доказать, что (задачи 85-87):
Ui + R2){r2 + rMrs
abc
86. Общие касательные пересекаются в одной точке, расстояние которой до каждой из точек касания равно
r1r2r3
RiJrR2Jr R^
87. Если R1 = R2 = R3 = R, то площадь, ограниченная дугами MN\ MP и NP9 равна (/З —-j)#2.
88. 1°. Доказать, что радиус х окружности (K)1 касающейся сторон угла А
треугольника ABC и внешне касающейся описанной окружности, определяется одной из формул
лп • А . В С
4Я „и sin т sin т А пА bcs
cos 2
2°. Если Bx и C1 суть точки прикосновения к сторонам угла А, то середина O1 хорды B1C1 есть центр вневписанной окружности треугольника ABC
3°. Если B2 и C2 суть точки, в которых сторон угла касается окружность, имеющая с описанной вокруг треугольника окружностью внутреннее касание, то середина G2 хорды B2C2 есть центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
4°, Если у її z суть радиусы двух окружностей, касающихся также внешне описанной окружности (вокруг треугольника ABC) и сторон углов В и С, то
«>4г+4+4-=2*-г-
X ~ у г z 2Rr 9 б) 32R3 — 2R(xy-{-yz-\- zx) — xyz = О
89. Пусть О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, a Rv R2, /?3 — радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников BOC1 COA и АОВ. Доказать, что
R\R\R\ = R*AO . ВО - СО.
90. Пусть О' — центр окружности, описанной вокруг треугольника ABC, a Rv R2, R3 — радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников BOrCt АО'С и АОгВ. Доказать, что:
V а . Ь , с _ abc
б) R1R2R3 ^ 1 а?с tg (45* - A) tg (45° - ~) tg (45° - .
