Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
399
2°. Обозначим через ср угол между плоскостями (P) и (Pf)\ вычислить tgcp и coscp в функции а и х. Выразить tg В ^D через cos ср.
3°. Можно ли выбрать х так, чтобы четырехугольник AB'CfDr был:
а) квадратом, б) ромбом, подобным ромбу ABCD? 4°. Вычислить в функции а и X объем многогранника ABCDA'BfC'D>'. 24. Пусть ABCD и ABEF — две грани куба с ребром а. На диагонали AC первой грани от точки А в направлении к точке С откладывается отрезок AM, а на диагонали FB от точки F к точке В откладывается отрезок той же длины FN = AM = х.
1°. Доказать, что при изменении х, MN остается параллельной некоторой плоскости. Найти геометрическое место середин отрезков MN. 2°. Вычислить в функции а и х величину у = MN2. Изобразить эту функцию графически. Определить х, если задан у = L Исследовать. 3°. Обозначим через аир острые углы, которые образуют отрезок MN соответственно с AC и BF. Вычислить а и ? в случае, если длина отрезка MN минимальна. Вычислить cos а и cos? в функции а и х в общем случае. Доказать при помощи полученных формул для cos а и cos?, что MN никогда не может быть общим перпендикуляром к AC и FB. Как это можно установить чисто геометрически? Вычислить cos 2а, если х = ~.
П. 2. Параллелепипед
1. В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей вершины, равны а, Ь и с. Ребра а и Ъ взаимно-перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а. Определить объем параллелепипеда.
2. Ребра параллелепипеда, исходящие из общей вершины, соответственно равны at b и с. Ребра а и Ъ взаимно-перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них по углу, равному а. Определить угол наклона ребра с к плоскости ребер а и Ъ.
3. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Одна из диагоналей параллелепипеда равна / и образует с плоскостью основания угол а, a с одной из боковых граней — угол ср. Найти объем параллелепипеда.
4. В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна d и составляет угол а с большей стороной основания. Через эту сторону и противолежащую ей сторону верхнего основания проведена плоскость, которая наклонена к плоскости нижнего основания под углом ?. Определить боковую поверхность параллелепипеда.
5. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его основания под углами а и ?. Найти угол между этими диагоналями.
6. В параллелепипеде все его грани — равные ромбы со сторонами а и острыми углами а. Определить объем этого параллелепипеда.
7. Стороны основания параллелепипеда а и Ь образуют между собой угол а, боковое ребро его, равное с, наклонено к плоскости основания под углом ?. Найти объем параллелепипеда.
8. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с острым углом а. Стороны основания равны а и о. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Определить площадь сечения, если секущая плоскости проходит через первую из этих диагоналей параллельно второй.
9. В кубе ABCDA1B1C1D1 (одинаковыми буквами обозначены соответствующие точки верхнего и нижнего оснований) через диагональ AC1 проведены плоскости AC1D1 и AC1B1. Вычислить угол между ними.
400 % Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
10. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с его основанием угол а. Боковая поверхность этого параллелепипеда равна s. Определить угол между диагональю и стороной основания.
11. Через диагональ прямоугольного параллелепипеда проведена плоскость, параллельная диагонали основания, не пересекающей эту диагональ параллелепипеда. По сторонам основания a, b и высоте 2h определить внутренние углы фигуры, по которой плоскость пересекает параллелепипед.
12. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с острым углом а. Под каким углом к плоскости основания наклонена плоскость, рассекающая этот параллелепипед по квадрату?
13. Определить объем параллелепипеда, в котором даны площади р и q двух его граней, длина а их общего ребра и угол а между этими гранями.
П. 3. Призма
1. Определить объем прямой призмы, в основании которой лежит ромб с меньшей диагональю d и острым углом а, если угол между меньшей диагональю основания призмы и меньшей диагональю самой призмы равен ?.
2. В основании четырехугольной призмы лежит ромб со стороной а и острым углом а; боковые ребра этой призмы равны b и наклонены к плоскости основания призмы под углом ?. Определить объем призмы.
3. В основании прямой призмы лежит прямоугольник. Определить боковую поверхность и объем призмы, если диагональ призмы равна т и составляет с боковыми гранями соответственно углы an?.
4. Основанием призмы служит ромб со стороной а и углом а. Боковые ребра имеют длину b и наклонены к основанию под углом ?. Определить площадь перпендикулярного сечения призмы.
5. В треугольной призме известны длина бокового ребра /, углы а, ? между ребром и прилежащими сторонами основания, длины а и b этих ребер и двугранный угол у между боковыми гранями, проходящими через эти ребра. Определить объем призмы.
